第三章 高考大题专题研究1 专题研究2 利用导数解决不等式恒(能)成立问题-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案课件PPT（全国统考版）

高考大题专题研究一 专题研究(二)　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 第三章　导数及其应用 解 ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 题型一　恒成立问题 例1　已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a．若f(x)≥1，求a的取值范围． 课时作业 解 课时作业 解 ∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立； 当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<a<1， ∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立． 综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)． 课时作业 解 解法二：f(x)＝aex－1－ln x＋ln a＝eln a＋x－1－ln x＋ln a≥1等价于eln a＋x－1＋ln a＋x－1≥ln x＋x＝eln x＋ln x， 令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x－1)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数， ∴又等价于ln a＋x－1≥ln x，即ln a≥ln x－x＋1， 令h(x)＝ln x－x＋1， 当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝0，∴ln a≥0，即a≥1， ∴a的取值范围是[1，＋∞)． 课时作业 [解题策略]　解不等式恒成立问题的方法 (1)构造函数分类讨论法：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，转化为求解函数最值的问题，但是往往需要对参数进行分类讨论． (2)分离参数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，若a≥v(x)在x∈D上恒成立，则a≥v(x)max；若a≤v(x)在x∈D上恒成立，则a≤v(x)min. 课时作业 (3)同构法：在不等式恒成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有ex和ln x两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称为“同构”，同构的三种基本模式如下： 课时作业 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 解　因为f(x)＝aex＋ln a，g(x)＝ln (x＋1)＋1， 所以f(x)>g(x)恒成立，即aex＋ln a>ln (x＋1)＋1在(－1，＋∞)上恒成立，等价于aex＋ln (aex)>ln (x＋1)＋(x＋1)在(－1，＋∞)上恒成立． (2)(2022·湖南永州模拟)已知函数f(x)＝aex＋ln a，g(x)＝ln (x＋1)＋1(其中a为常数，e是自然对数的底数)，若f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 课时作业 解 当x∈(－1,0)时，s′(x)>0，s(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，s′(x)<0，s(x)单调递减， 所以s(x)≤s(0)＝1， 从而实数a的取值范围是(1，＋∞)． 课时作业 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略] 1．不等式能成立问题的解题关键点 课时作业 2．能成立问题求参数范围的常见题型 (1)存在x∈[a，b]，f(x)≥m成立⇔f(x)max≥m. (2)存在x∈[a，b]，f(x)≤m成立⇔f(x)min≤m. 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　双变量不等式恒(能)成立问题的求解方法 (1)∀x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最大值． (2)∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最小值． (3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最小值． (4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最大值． 课时作业 课时作业 解 解　(1)证明：当a＝1时，f(x)＝ln x－x－1， 所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，