第三章 高考大题专题研究1 专题研究1 利用导数研究不等式的证明问题-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案课件PPT（全国统考版）

高考大题专题研究一 第三章　导数及其应用 命题动向：通过近五年的高考试题分析，导数与不等式、函数的零点相结合的综合问题既是考查的热点又是重点．此类问题综合性较强，融函数、导数、不等式等高中数学主干知识为一体，能有效考查学生的综合解题能力．涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等，难度较大． 课时作业 专题研究(一)　利用导数研究不等式的证明问题 课时作业 解 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1. 从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1. 解得a＝b＝－1. 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． (3)最值法：欲证f(x)<g(x)，有时可以证明f(x)max<g(x)min. 课时作业 变式训练1　(2023·四川达州模拟)已知函数f(x)＝ax2－xln x. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex， 易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0. 因为h(x)与φ(x)不同时为0， 课时作业 课时作业 解 所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0， 综上，当x＝1时，F(x)＝0，f(x)＝g(x)； 当x∈(0,1)时，F(x)<0，f(x)<g(x)； 当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0，f(x)>g(x)． 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 角度2　构造函数法证明双变量不等式 例3　(2022·北京高考)已知函数f(x)＝exln (1＋x)． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3)证明：对任意的s，t∈(0，＋∞)，有f(s＋t)>f(s)＋f(t)． 课时作业 解 课时作业 解 ∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴h(x)≥h(0)＝1>0. ∴g′(x)>0在[0，＋∞)上恒成立， ∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增． (3)证明：原不等式等价于f(s＋t)－f(s)>f(t)－f(0)， 令m(x)＝f(x＋t)－f(x)(x，t>0)， 即证m(x)>m(0)， ∵m(x)＝f(x＋t)－f(x) ＝ex＋tln (1＋x＋t)－exln (1＋x)， 课时作业 解 又x，t>0， ∴g(x＋t)>g(x)， ∴m′(x)>0， ∴m(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴m(x)>m(0)，即命题得证． 课时作业 [解题策略]　双变量不等式的证明方法 (1)转化法．由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式，再进行证明． (2)构造函数法．构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式． 课时作业 变式训练2　(2023·陕西西安质检)已知函数f(x)＝xln x－2x. (1)求f(x)的单调区间、极值； (2)若x>y>0，试确定f(x)－f(y)与xln y－yln x的大小关系，并给出证明． 课时作业 解 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－2＝ln x－1，令f′(x)＝0得x＝e. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况列表如下： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  可得(0，e)是f(x)的单调递减区间，(e，＋∞)是f(x)的单调递增区间，f(x)在x＝e处有极小值－e，无极大值． 课时作业 解 课时作业 解 所以Q(t)在(1，＋∞)上是增函数． 所以Q(t)>1×ln 1＋ln 1－2×(1－1)＝0. 又y>0，所以(*)>0， 所以f(x)－f(y)>xln y－yln x. 课时作业 课时作业 解 课时作业 解 (2)证明：设h(x)＝ln x－(x－1)， 令h′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0,1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0