11.2 反比例函数的图象与性质 讲义 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

第11章 反比例函数 11.2 反比例函数的图像与性质 课程标准 课标解读 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解x>0和x<0时图象的变化情况。 1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质。 2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质。 3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题。 知识点01 反比例函数的图象和性质 1. 反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 【微点拨】 （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3.反比例函数的性质 （1）当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 【微点拨】 反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号。 【即学即练1】反比例函数的图像大致是图中的（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】已知反比例函数，则下列描述不正确的是（） A．图象位于第一，第三象限 B．图像必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小 知识点02 反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 【微点拨】 只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的。 【即学即练3】如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，，则的值为（    ） A． B． C． D．不能确定 【即学即练4】如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 考法一 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例1】在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数的图象都经过点． (1)若，求的值． (2)若点也在反比例函数的图象上． ①求，的函数表达式． ②若，求x的取值范围． 考法二 反比例函数与几何图形的综合 【典例2】如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图像经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求k的值； (2)连接，若，求的长． 题组A 基础过关练 1．反比例函数的图象在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．若函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．在反比例函数的图象上有两点，，若时，，则取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．已知点，均在反比例函数的图像上，且，则______（填“＞”或“＜”）． 6．图象经过点的反比例函数的表达式是______． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，过点作轴于点，点在轴上，连接、．若的面积为，则的值为________________． 8．如图，O是坐标原点，点A在函数的图象上，轴于B点，的面积为4，则k的值为____________． 9．已知反比例函数，当自变量x变为原来的（n为正整数，且）时，函数y将怎样变化？请说明理由． 10．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写