专题11 认识三角形-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 （一）三角形的定义及分类 （1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三边条、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，三个字母之间并无顺序关系。△ABC 的三边，有时也用来表示。如图，顶点A、B、C所对的边分别是BC、AC、AB，分别用来表示。 （2）三角形的分类：按角分类 （3）三角形内角的和等于180°，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。 （二）直角三角形 （1）通常我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。 （2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示：在Rt△ABC中，∠ C=90°，则∠ A+∠B=90° (三）三角形三边关系 （1）三角形中，如图，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。总结一句就是三角形中，任意一边小于另外两边之和，大于另外两边之差。 （四）三角形的“三线” （1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。如图，AD是△ABC的BC边上的中线。一个三角形有三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。如图，三条中线交于点O，O点即为△ABC的重心。 三角形的中线性质：①中线平分一条边；②无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部； ③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 （2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。 （3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点，钝角三角形的高线交于三角形外部一点。 例题分析 考点1 判断三条线段能否组成三角形 【例1】．某同学用长分别为5cm，7cm，9cm，13cm的四根木棒摆三角形（用其中三根木棒首尾相连），每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可摆出不同的三角形（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 【变1-1】．现有两根木棒，它们的长度分别是5dm和8dm．如果不改变木棒的长度，要钉成一个三角形的木架，那么在下列四根木棒中应选取（　　） A．3dm长的木棒 B．8dm长的木棒 C．13dm长的木棒 D．16dm长的木棒 【变1-2】．一位教师讲三角形的三边关系时，拿出准备好的9根木棒，它们的长分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．如果从9根木棒中抽取3根拼成三角形，那么可拼成不同三角形的种数为　3　种． 考点2 根据已知数据求三角形边长 【例2】．已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边之差为14cm，另一边与最短边之和为25cm，求△ABC各边的长． 变式训练 【变2-1】．三角形两边长分别为4和7，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（　　） A．15或12 B．15或19 C．16或17 D．19或23 【变2-2】．已知三角形的两边长分别为3cm和7cm． （1）试确定三角形第三边长x的取值范围． （2）若第三边的长为偶数，求三角形的周长． （3）若三角形为等腰三角形，则三角形的周长为　　cm． 考点3 求解等腰三角形边长问题 【例3】．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． （2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 变式训练 【变3-1】．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的是多少？ （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ （3）假设等腰三角形的腰长为acm，求a的取值范围． 考点4 根据三角形三边关系求解代数式的值 【例4】．已知a，b，c为△ABC的三条边的长．试判断代数式（a2﹣2ac+c2）﹣b2的值的符号，并说明理由． 变式训练 【变4-1】．已知△ABC的边长a、b、c满足：（1）（a﹣2）2+|b﹣4|＝0；（2）c为偶数，则c的值为　 　． 【变4-2】．已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状； （2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|． 【变4-3】．