类型十一 二次根式的几何新定义-2022-2023学年八年级数学下册题型突破提高（苏科版）

类型十一、二次根式的几何新定义 【解惑】 阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)理解并填空： ①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？_______（填“是”或“不是”） ②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形_______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2) 探究：在，两边长分别是a、c，且，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． 方法：①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断； ②根据奇异三角形的定义判断； （2）分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断． 【融会贯通】 1．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是1，，，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由； (2)若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（将比值按从小到大的顺序排列）； (3)如图，在中，，，是边上的高，若是“平方倍三角形”，求的面积． 2．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． (1)若ABC三边长分别是3，2和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若RtABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）； (3)如图，RtABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若BCD是常态三角形，求ABC的面积． 3．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______； (3)如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【知不足】 1．对于平面内三个点P，A，B，给出如下定义：将线段与线段长度的和叫做线段关于点P的折线距离，记为．例如下图中，A，B，C三点共线，，，则线段关于点B的折线距离，线段关于点C的折线距离． (1)如图，中，，，D是中点． ①_______． ②P是线段上动点，确定点P的位置使得的值最小，并求出的最小值． (2)中，，过点C作的垂线l，点Q在直线l上，直接写出的最小值的取值范围． 2．定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点． （1） 如图①，已知△ABC 为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝1，CD＝2，求高AD的长； （2） 如图②，△ABC 中，AB＝AC＝3，BC＝，求证：△ABC 是勾股高三角形． 3．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． （1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空 　 　（填“正确”或“不正确”）； ②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形 　 　（是或不是）可爱三角形； （2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为 　 　； ②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为 　 　． 4．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是3，和4，则此三角形___________常态三角形（选填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形．求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）． (3)如图，中，，，点D为的中点，连接、若是常态三角形，求的面积． 【一览众山小】 1.在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求OP的长； (3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：运动，是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围． 2．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． (1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若A