热点06 解直角三角形-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（广东专用）

热点06 解直角三角形 ( 命题趋势 ) 在中考中，直角三角形这一知识点一般不会进行单独考察，往往会和实际问题结合在一起，在求解三角形的实际问题中，正确选择锐角三角函数关系是解题关键。在直角三角形的应用题中，题目中常常涉及仰俯角和坡度角的解决。所以对三角函数公式要非常熟悉。 ( 热点解读 ) 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。 三角函数本质上是线段之间的比例关系，我们可以把正弦和余弦放在一起来记忆，正弦和余弦的分母都是斜边，正弦是正对着的直角边除以斜边，余弦是相邻的直角边除以斜边。两个都是直角边除以斜边，而我们知道直角边长度小于斜边，所以正弦余弦值一定小于1。而正切指的是正对着的直角边和相邻的直角边值比，而直角边长度没有大小之分，所以正切可能大于1，也可以小于1. ( 满分技巧 ) 命题热点1：锐角三角函数 1. 锐角三角函数的概念 （1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数. （2）在△ABC中，∠C=90°, ∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cos A=,∠A的正切tan A=. 2. 特殊角的三角函数值(填写下表) 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 命题热点2：解直角三角形 1. 解直角三角形 （1）解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外,一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. （2）直角三角形的解法 直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型: ①已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为:∠B=90°-∠A,c=;  ②已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为:∠B=90°-∠A,a=;  ③已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2，tan A=;  ④已知斜边和一直角边(如c,a)，其解法为:b2=c2-a2,sin A=.  2. 与解直角三角形有关的名词、术语 （1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角. 从下向上看，叫做仰角; 从上往下看，叫做俯角. （2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角. （3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角. 【注】正弦函数和余弦函数也具有一些性质，可以帮助我们更好地进行记忆。一个角的正弦等于与它互余的角的余弦。本质上是因为直角三角形ABC中，若角A与角B互余，那么角A的对边BC就是角B的邻边BC，所以角A的正弦等于角B的余弦。 ( 限时检测 ) 1．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索． (1)求绳索长的最大值． (2)若时，求桑梯顶端到地面的距离． （参考数据：，，，最后结果精确到0.01米） 【答案】(1)1.5米；(2)2.54米 【分析】（1）根据题意得当时，绳索的长最大，根据已知易得是等边三角形，利用等边三角形的性质可得米，即可解答； （2）过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 当时，绳索的长最大， 米， 是等边三角形， 米， 绳索长的最大值为1.5米； （2）解：过点作，垂足为， ， 米，， ， 米， （米） 在中，（米）， 答：桑梯顶端到地面的距离约为2.54米． 2．（2023·安徽池州·校联考一模）如图是置物架的侧面示意图，置物板与地面平行，斜支架与地面的夹角，；挡板与置物板的夹角，．求挡板顶端F到地面的距离．（参考数据：，，） 【答案】112 【分析】过点E作于点G，过点F作，交延长线于点M，则挡板顶端F到地面的距离就是的和，在和的锐角的正弦分别求出和的长度即可求出结果． 【详解】解：如图，过点E作于点G，过点F作，交延长线于点M， 在中，，， 由，得， ∵， ∴， 在中，由，得， ∴． 答：挡板顶端F到地面的距离为112． 3．（2023·河南安阳·统考一模）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊的高度．如图，在处测得字坊顶端的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得字坊顶端的仰角为，求字坊的高度．结果精确到，参考数据：s，，，) 【