专题9.3 四边形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题9.3 四边形中的动点问题 【典例1】已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． （1）如图1－1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； （2）如图1－2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自→→→停止，点自→→→停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒5，点的速度为每秒4，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 【思路点拨】 （1）利用SAS证明△AOE≌△COF，得OE=OF，可知四边形AFCE是平行四边形，再说明AC⊥EF即可证明是菱形，设AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解方程即可； （2）①通过判断可知只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，根据QA=PC，从而可求解；②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题． 【解题过程】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC， ∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE， ∵O为AC中点， ∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AC平分∠EAF， ∴AC⊥EF， ∴四边形AFCE为菱形； 设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2， 解得x=5， ∴AF=5cm； （2）解：①显然当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A，C，P，Q的四点不可能构成平行四边形， 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上也不能构成平行四边形， 因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形， ∴以A，C，P，Q的四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=CD+AD-4t=12-4t，即QA=12-4t， ∴5t=12-4t， ∴， ∴t的值为； ∴当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为； ②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况： I：如图， 当P点在AF上，Q点在CE上，AP=CQ=CD+DE+CE-b， 即a=12-b， ∴a+b=12； Ⅱ：如图， 当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP，则PC=AD+DC-b即12-b=a，， ∴a+b=12； Ⅲ：如图， 当P点在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ， 即12-a=b， ∴a+b=12， 综上所述，a与b满足的数量关系为a+b=12（ab0）． 1．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形中，，，平分交于，且， （1）求证：； （2）求平行四边形的面积； （3）取中点，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，两点同时出发，当，中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为，是否存在，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 2．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动． （1）求点B的坐标； （2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值； （3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．（t>0） （1）DE＝______； （2）连接AP，当四边形APED是菱形时，求菱形APED的周长； （3）连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 4．（2022春·广东广州·八年级统考期末）如图，在四边形中，//，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始： （1）当运动，判断此时：四边形的形状，并证明． （2）当时，求长． （3）当时，需经过多少时间？ 5．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，，，，