专题2.2 平面向量的线性运算（4类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（北师大版2019必修第二册）

专题2.2 平面向量的线性运算 【考点1：向量的加法运算】 1 【考点2：向量的减法运算】 3 【考点3：向量的数乘运算】 5 【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】 7 【考点1：向量的加法运算】 【知识点：向量的加法运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋) [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．　　 1．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2020秋·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）______ 3．（2022春·广西桂林·高一校考期中）化简等于________. 4．（2023·高一课时练习）在矩形ABCD中，，则向量的长度等于______． 5．（2022·高一课时练习）如图，已知，求作. (1)； (2) 6．（2023·高一课时练习）如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若为单位向量，求、和． 【考点2：向量的减法运算】 【知识点：向量的减法运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求与的相反向量－的和的运算 －＝＋(－) 1．（2020秋·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）（       ） A． B． C． D． 2．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）等于（       ） A． B． C． D． 3．（2023秋·北京房山·高一统考期末）在中，D为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·北京西城·高一统考期末）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 5．（2023·高一课时练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为________． 6．（2022春·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： (1)； (2)． 7．（2023·高一课时练习）如图，已知向量、、、、． (1)用、、表示； (2)用、表示； (3)用、、表示； (4)用、表示． 【考点3：向量的数乘运算】 【知识点：向量的数乘运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量的积的运算 |λ|＝|λ|||，当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 λ(μ)＝(λ μ) ； (λ＋μ) ＝λ＋μ； λ(＋)＝λ＋λ 1．（2020秋·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）（       ） A． B． C． D． 2．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）在四面体ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）已知平行四边形中，为边的中点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（　 ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．（2022春·河南平顶山·高一校考阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】 【知识点：平面向量的共线定理与三点共线问题】 向量与 (≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ. 【求解向量共线问题的注意事项】 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t (O为平面内任一点，t∈R)． [方法技巧]　　　 平面向量共线定理的三个应用 证明向量共线 对于非零向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线 证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，与有公