专题12 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题12 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 【考点预测】 1．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 2．超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 3．二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 4．正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 【典型例题】 例1．（2023春·高二单元测试）某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验次； 方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为. (1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率； (2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为. 若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为. (i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式; (ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值. 参考数据： 【解析】（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件， 则，且互斥， 所以 （2）， 的取值为， ， 所以， 由得， 所以； （ii）,所以， 所以，所以 设， ， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减 又， 所以的最大值为8 例2．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. (3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 【解析】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即， 所以的所有可能取值为，则 ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小， 即，第（1）不中奖的概率比第问小，即， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽. 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖. 例3．（2023春·北京·高二校考阶段练习）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中