专题11 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题11 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式 【考点预测】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有， 6、在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 【典型例题】 例1．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一： 设第一次取得次品为事件A，第二次取得正品为事件B， 则， 所以. 法二： 在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品， 故第二次拿出正品的概率为. 故选：B. 例2．（多选题）（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知事件A，B，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，D，由，， 则，故C正确；D错误． 故选：AC． 例3．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________. 【答案】 【解析】设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”， 则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”, B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”, 所以，， 故,, 故 ， 故答案为： 例4．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下的数据: 元件制造厂 次品率 提供元件的份额/% 1 2 15 2 1 80 3 3 5 假设这三家元件制造厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.现在仓库中随机取一个元件，则它是次品的概率是__________. 【答案】0.0125 【解析】（1）由已知共有10个球，黑球6个. 根据古典概型的概率公式可得，第1次取到黑球的概率为. （2）缩小样本空间法. 第1次取到黑球后，袋中剩余5个黑球，4个白球. 根据古典概型的概率公式可得，在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率为. 例5．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表： 年龄段 类型 单次购物金额满188元 8 15 23 15 9 单次购物金额不满188元 2 3 5 9 11 (1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？ (2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率. 【解析】（1）由表可知，单次购物金额满188元的有：8+15+23+15+9=70人， 所以单次购物金额满188元频率为：， 所以5000人中，单次购物金额满188元大约人， 故需准备3500个环保购物袋； （2）记事件为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”， 记事件为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”， 所以，， 所以， 故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为. 例6．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗． (1)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗