专题13 概率综合问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题13 概率综合问题 【典型例题】 例1．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，． (1)设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值； (2)记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜， 所以，，， 令，得；令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为． （2）由（1）知，由题意，知X的所有可能取值为3、4、5，相应的概率为 ， ， ， 所以X的分布列为 X 3 4 5 P X的数学期望． 例2．（2022春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电. (1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率； (2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少? 【解析】（1）第3次才抽到合格品的概率. （2）设“从一批产品中检查出1个次品”，“零件为甲车间加工”，“零件为乙车间加工”，“零件为丙车间加工”.则，且两两互斥. 由题意可知，，，， ，，. 由全概率公式可得，. 则该次品来自甲车间的概率 ， 该次品来自乙车间的概率 ， 该次品来自丙车间的概率 . 例3．（2022春·重庆·高二校联考期中）袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球摸出的球不再放回，求： (1)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； (2)第二次摸到白球的概率． 【解析】（1）设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为， 则，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率. （2）第二次摸到白球的情况分为两种： 第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率， 第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率， 所以第二次摸到白球的概率. 例4．（2022春·重庆·高二校联考期中）某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． (1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 16 17 18 19 20 21 22 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①若花店一天购进18枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由． 【解析】（1）当天需求量时，利润， 当天需求量时，利润， 所以当天的利润y关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式为： . （2）①时，，； 时，，； 时，，； 所以X的分布列为： 70 80 90 0.1 0.2 0.7 所以期望， 所以方差； ②由①知当一天购进18枝玫瑰花时，当天的利润的数学期望为， 设当一天购进19枝玫瑰花时，表示当天的利润， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 所以. 所以， 所以花店一天应购进19枝玫瑰花. 例5．（2022春·福建泉州·高二泉州五中校考期中）在京西购物平台购买手机时，可以选择是否加购“碎屏无忧”的保障服务，“碎屏无忧”服务有两种（两种服务只能购买一种）：一为“1年碎屏换屏”，价格100元，在购机后一年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕；一为“2年碎屏换屏”，价格150元，在购机后两年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕，若未购买“碎屏无忧”服务，则碎屏后需更换屏幕，更换一次屏幕需要300元.已知在购机后的第一年，第二年，第三年原屏发生碎屏的概率分别是0.4，0.2，0.1.每部手机是否发生碎屏相互独立且每年至多碎屏一次. (1)在京西购物平台购买了一部手机，求这部手机在第二年原屏才发生碎屏的概率； (2)拟在京西购物平台购买一部手机，并决定3年后再换部新手机.请问是否应该购买加购“碎屏无忧”的保障服务？说明理由. 【解析】（1）设该手机第二年原屏才碎裂为事件， ， 从而该手机第二年原屏才碎裂的概率为； （2）设购买“1年碎屏换屏”需花费元，则可取值， 则，， 故， 故. 设购买“2年碎屏换屏”需花费元，则可取值， 则， ， ， 故， 设不买保险需花费元，则可取值， 故，