专题04 解三角形与向量综合大题归类（讲+练）-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习讲练测（人教A版2019必修第二册）

专题4解三角形与向量综合大题归类 目录 【题型一】基底与数量积 1 【题型二】数量积范围与最值 2 【题型三】向量线性最值 3 【题型四】三角形内切圆型 3 【题型五】三角形三线：中线 4 【题型六】三角形三线：高 6 【题型七】三角形三线：角平分线 6 【题型八】面积最值型 7 好题必刷 8 【题型一】基底与数量积 两个向量的数量积的性质：设、、为两个非零向量，是与同向的单位向量. ①； ②当与同向时，；当与反向时，. 特别的或； ③； ； . 1.如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点． (1)试用，表示，； (2)求的值． 2.如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 3.如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，，求. 【题型二】数量积范围与最值 1..等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为． (1)若为的中点，求． (2)求的取值范围． 2.如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点. (1)求向量与向量的夹角； (2)若O是线段上任意一点，求的最小值； (3)通过本题的解答，试总结利用平面向量解决平面问题的基本方法 3..已知为坐标原点，， (1)求 (2)在x轴上有一点，使有最小值，求此时P点的坐标. 【题型三】向量线性最值 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 1.已知点G在内部，且， (1)求证：G为的重心； (2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值. 2.在中，，，QA与PB相交于点C，设， (1)用，表示； (2)过C点作直线分别与线段OQ，OP交于点M，N，设，，求的最小值. 3.设两个向量满足， (1)求方向的单位向量； (2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【题型四】三角形内切圆型 三角形内切圆满足： 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐角，，，再从条件①：，条件②：，这两个条件中选择一个作为已知.求： (1)角A； (2)的内切圆半径r. 2.如图，在中，是上一点，平分. (1)求证：； (2)若，，，求的内切圆面积. 3.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求角A的大小； (2)求 在①△ABC面积的最大值；②△ABC周长的最大值；③△ABC的内切圆的半径最大值. 中任选一个做为问题（2），并给出问题的解答． 【题型五】三角形三线：中线 中线的处理方法 1.向量法： 双余弦定理法（补角法）： 如图设， 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以 所以①+②式即可 3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 4.中线分割的俩三角形面积相等 1.在①且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：在中，角的对边分别为，且__________． (1)求； (2)若为边的中点，且，求中线长． 2.在中；内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，点为的中点，求的最大值. 3.在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________. (1)求角； (2)若，点是的中点，求线段的取值范围. 【题型六】三角形三线：高 三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 1.记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值. 2.．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)设是边上的高，且，求面积的最小值. 3.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知且. (1)若，求； (2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值. 【题型七】三角形三线：角平分线 三角形角平分线的处理方法： 1.在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB (1)若，求tanC的值： (2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积． 2.在中，. 再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： (1)求的大小； (2)的平分线交于点，求的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 3.在中