6.3.2正方形的判定课件2022-2023学年度鲁教版（五四学制）数学 八年级下册

第2课时 正方形的判定 3 正方形的性质与判定 第六章 特殊平行四边形 1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 有一个角是直角 或对角线相等 平行四边形 矩形 菱形 有一组邻边相等 或对角线互相垂直 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形的对角线相等且互相垂直平分 正方形的四条边都相等 正方形的四个角都是直角 边 对角线 角 2.正方形的定义及性质 正方形的性质 做一做:将矩形纸片对折两次,怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形? (1) (2) (3) (4) 剪口与折痕成 45°角 菱形 问题1:满足怎样条件的矩形是正方形? 矩形 正方形 一组邻边相等 或对角线互相垂直 问题2:满足怎样条件的菱形是正方形? 一个角是直角 或对角线相等 正方形 定理 对角线相等的菱形是正方形. 定理 对角线垂直的矩形是正方形. 定理 有一个角是直角的菱形是正方形. 正方形的判定 证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC= 90°, ∠DCB= 90°. 又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴ ∠EBC= ∠ABC=45°, ∠ECB= ∠DCB =45°. ∴ ∠EBC=∠ECB.∴BE=CE. ∴平行四边形BECF是菱形. 在△EBC中,∵ ∠EBC=45°, ∠ECB==45° , ∴ ∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形. 例 如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 如图,已知在△ABC中,点D是BC上一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.请分别回答下列问题,并简述理由. (不添加任何线段) (1)四边形AEDF是什么四边形? 解: ∵ DE∥AC,DF∥AB, ∴ 四边形AEDF是平行四边形. (2)当满足什么条件时,四边形AEDF是矩形? 解: ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形, ∴ ∠BAC=90°时,四边形AEDF是矩形. 练一练 (3)当满足什么条件时,四边形AEDF是菱形? 解:∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形, ∴ 当AD平分∠BAC 时,四边形AEDF 是菱形. (4)当满足什么条件时,四边形AEDF是正方形? 解:∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形, ∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC时,四边形AEDF是正方形. 猜想结论,分组验证 1.如图,在ΔABC中, EF为ΔABC的中位线, ①若∠BEF=30°, 则∠A= . ②若EF=8cm, 则AC= . B F E C A 30° 16cm 2.在AC 的下方找一点D, 做CD 和AD 的中点G、H,问EF 和GH 有怎样的关系?EH 和FG 呢? D H G B F E C A 3.四边形EFGH 的形状有什么特征? 猜想结论,分组验证 EF∥GH,且EF=GH EH∥FG,且EH=FG 平行四边形 如果一个四边形变为特殊的四边形,中点四边形会有怎样的变化呢? 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 直角梯形 梯形 原四边形可以是: 猜想结论,分组验证 特殊四边形的中点四边形: 平行四边形的中点四边形是平行四边形 菱形的中点四边形是矩形 矩形的中点四边形是菱形 正方形的中点四边形是 正方形 猜想结论,分组验证 特殊四边形的中点四边形: 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 猜想结论,分组验证 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形 对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 猜想结论,分组验证 归纳 一般四边形的中点四边形: 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 1、下列命题正确的是( ) A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2.四个内角都相等的四边形一定是( ) A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 3.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正 方形的是 ( ) A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD B.AD∥BC ,∠A=∠C C.AO=CO,BO=DO,AB=BC D.AC=BD C A 4. 已知在□ ABCD中,∠A=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( ) A.∠D=90° B.AB=CD C. AD=B