第六讲-导数与不等式讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第一章·语法 第六讲 导数与不等式 问题层级图 目标层级图 · 课前检测（15mins） 1. 已知函数,.求证:; 2. 已知函数,其中实数. 若在区间恒成立,求的取值范围. 3. 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间; （Ⅱ）对任意,都有,求的取值范围. 课中讲解 一.会解决导数中的恒成立问题LV.5 例1． 已知函数.求证:当时,; 例2． 设不等式对一切恒成立,求实数的取值范围. 例3． 已知函数. （Ⅰ）求证:; （Ⅱ）若在区间上恒成立,求的最小值. 例4． 已知函数,. （Ⅰ）求证:; （Ⅱ）若对恒成立,求的最大值与的最小值. 过关检测（30mins） 1. 设函数, 当时,恒成立,求的取值范围. 2. 已知 （Ⅰ）当时,求证:对于恒成立; （Ⅱ）若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围. 二.会解决导数存在性问题LV.5 例1． 已知函数.若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围; 例2． 设,函数.若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围. 例3． 已知函数. （Ⅰ）求证:当时,; （Ⅱ）设实数使得对恒成立,求的最大值. 过关检测（40mins） 1. 已知函数 若关于的不等式在上有解,求的取值范围; 2. 已知函数,,. （Ⅰ）求的单调区间; （Ⅱ）若对于任意,存在,都有,求的取值范围. 3.已知函数,. （Ⅰ）求函数的单调区间; （Ⅱ）若对任意,恒成立,求的取值范围. 4. 已知函数,曲线在点处的切线与轴平行. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若,求函数的最小值; （Ⅲ）求证：存在,当时,. 三.会利用导数方法解决不等式证明问题LV.6 例1． 已知函数. (Ⅰ)求函数的零点和极值; (Ⅱ)若对任意,都有成立,求实数的最小值. 例2． 设函数, （Ⅰ）求证：时,. （Ⅱ）证明:当时, 例3． 已知函数，，是曲线上两个不同的点. （Ⅰ）求的单调区间，并写出实数的取值范围； （Ⅱ）证明：. 过关检测（40mins） 1. 已知函数. （Ⅰ）求证:; （Ⅱ）判断曲线是否位于轴下方,并说明理由. 2. 已知函数, （Ⅰ）若在处取得极值,求的值; （Ⅱ）在（1）的条件下,若,求证:当时,恒有成立. 3. 已知函数. （Ⅰ）若在上为单调递减,求的取值范围; （Ⅱ）设,求证:. 课后练习 补救练习（30mins） 1. 已知函数. 当时,若在区间上恒成立,求的取值范围. 2. 已知函数,且. （Ⅰ）求的解析式; （Ⅱ）若对于任意,都有,求的最小值; （Ⅲ）证明:函数的图象在直线的下方. 3.设函数，,若对任意的,存在使得成立,求的取值范围. 巩固练习（35mins） 1. 已知函数. （Ⅰ）若恒成立,求的取值范围 （Ⅱ）求证:当时,曲线总在曲线的上方. 2. 设函数 若对任意的,均有成立,求的取值范围. 3. 已知函数. （Ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （Ⅱ）证明：总存在，使得当，恒有. 拔高练习（40mins） 1. 已知函数,. 若恒成立,求的最大值. 2. 已知函数,. （Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程; （Ⅱ）当时,若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,试求的取值范围. 3. 已知函数，（）. 设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，且. 若，且恒成立，求的取值范围. 会解决导数与不等式问题 会解决导数问题中的存在性问题LV.5 会转化为构造函数求最值问题 会求解函数的最值 会解决导数问题中不等式证明问题LV.6 会构造合适的函数与不等式 会解决导数问题中的恒成立问题LV.5 会转化为构造函数求最值问题 会求解函数的最值 会求解函数的最值 不会解决导数与不等式问题 不会解决导数问题中的存在性问题LV.5 不会转化为构造函数求最值问题 不会求解函数的最值 不会解决导数问题中不等式证明问题LV.6 不会构造合适的函数与不等式 不会解决导数问题中的恒成立问题LV.5 不会转化为构造函数求最值问题 不会求解函数的最值 不会求解函数的最值 4 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章·语法 第六讲 导数与不等式 问题层级图 目标层级图 课前检测（15mins） 1.已知函数,.求证:; 【解析】由得 . 因为在区间上, 所以f(x)在区间上单调递减.从而. 2.已知函数,其中实数. 若在区间恒成立,求的取值范围. 【解析】由可得: 函数定义域为, 易知,因为, 又因为,所以, 所以当时,在区间上,所以函数单调递减, 所以有恒成立; 当时,在区间上,所以函数单调递增, 所以,所以不等式不能恒成立; 所以时有在区间上恒成立. 3.已知函数. （Ⅰ）求的单调区间; （Ⅱ）对任意,都有,求的取值范围. 【解析】由已知得,的定义域为. （Ⅰ）. 令,得,令,得. 所以函数的单调