2023年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明 1．如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，交的延长线于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的直径． 2．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D． （l）求证：直线DE是⊙O的切线． （2）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长． 3．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，中，，点O在线段上，且，以O为圆心．为半径的⊙O交线段于点D，交线段的延长线于点E． （1）求证：是⊙O的切线； （2）研究过短中，小明同学发现，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由． 4．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长． 5．如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D. （1）求证:PD是的切线； （2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长. 6．如图，的对角线交于点E，以为直径的经过点E，与交于点F,G是延长线上一点，连接，交于点H，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 7．如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形． 8．如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且． （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 9．如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E． （1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径的长． 10．如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 11．如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分． （1）求证：DC为的切线； （2）若，求的半径． 12．如图，在中，，以为直径作，过点C作直线交的延长线于点D，使． （1）求证：为的切线； （2）若平分，且分别交于点，当时，求的长． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度． 14．如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D． （1）求证：DP是⨀的切线； （2）若AC=5，,求AP的长． 15．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明． 16．如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 17．如图，内接于，是直径，，与相交于点E，过点E作，垂足为F，过点O作，垂足为H，连接、． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的值． 18．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H． （1）求证：DH是半圆的切线； （2）若，，求半圆的直径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）见解析；（2）⊙O的直径为. 【分析】（1）连接OC，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的性质、等角代换、平行线的判定即可求得OC⊥ED，继而即可根据切线的判定定理即可求证结论； （2）根据等边对等角的性质、等角代换、角的和差倍数关系证得∠OCB＝2∠3，继而可得∠1=∠2=∠3=∠4＝30°，设，则OD＝2x，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【解析】（1）证明：连接，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2， 又平分∠BAE， ∴∠1＝∠EAC， ， ，（内错角相等） ， ， 是的切线． （2）∵BC＝BD， ∴∠3＝∠4． ∵AB是的直径， ， 由（1）知OC⊥CD ∴∠OCD＝∠3＋∠OCB＝9