7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1 （引入负整数） （引入分数） 自然数 为了计数的需要 整数 有理数 （引入无理数） 为了解决边长为 1 正方形对角线长度 实 数 ↓ ↓ ↓ 为了某些量进行等分，以及分配的需要 为了表示相反意义的量 2 数系的每一次扩充分别解决了什么实际问题与数学问题呢？ 前几次数系的扩充，有什么共同的特点？ （应该怎么办？） ? x2+1=0在R内无解 （引入新的数） ↓ （1）引入了新数； （2）在新的数集中，原有的运算和性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾。 前几次数系的扩充，共同的特点： 为了使方程x2+1=0有解， 引入一个新数： (2) 实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。 规定： 我们把 i 叫做虚数单位。 1、引进一个新数 x=i是方程 x2+1=0的解 2、复数与数系的扩充 依此设想: ①把实数b与i相乘，结果记作bi ②把实数a与bi相加，结果记作a+bi 所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. 3. 复数的概念 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集. 一般用C 表示. 4. 复数的表示 复数通常用字母z表示，即 z = a + b i (a,b∈R) a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 3、复数的分类 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用韦恩图表示(如右图所示). 4 、复数相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 注意： 两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小。 但两个实数可以比较大小。 × 如果两复数比较大小，那么这两复数一定都为实数。 注：(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，复数分为实数和虚数． 例1 (1)已知复数z＝(a－1)－(2－b)i的实部和虚部分别是2和1，则实数a，b的值分别是________． (2)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于___． 3, 3 解析：（1）a－1＝2，－(2－b)＝1，所以a＝3，b＝3. 题型一 复数的概念 -3 练习1 基训P48 例1 基训P49 例3（1） 题型二 复数的分类 例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。 练习2 基训P48 例2 题型三 复数相等 练习3 基训P49 例3（3） 2、复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝_______ 课后作业 1、设a，b∈R时，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零． 1．设a，b∈R时，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数， 故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选B． 2、复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝_______ m＝5 4、实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零． 解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. ①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. ②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. 时，z是纯虚数，解得k＝4. 时，z＝0，解得k＝－1. （2）因为z＜0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－9＝0，,m＋1＜0，))解得m＝－3. 解 (1)由