2023年 九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴题 专题提升训练

2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练（附答案） 1．如图，在正方形ABCD和正方形CMNG中，M为CD的中点，∠EBF＝45°，AF＞CE． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）已知AF•CE＝8，求△ACG的面积． （3）求证：AE2+CF2＝EF2． 2．【感知】如图1，正方形ABCD，AB＝2，O是BC中点，点E为正方形内一点，且OE＝2，连接AE、DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到EF，连接CF． 易证△AED≌△CFD（无需证明）． 【探究】如图2，若将正方形ABCD变为矩形ABCD，AD＝2AB＝4，O是BC中点，点E为正方形内的一点，且OE＝2，连接AE、DE，作DF⊥DE，且DF＝DE，连接CF． 求证：△AED∽△CFD． 【应用】如图2，在探究的结论下，直接写出点F到CD的最短距离d＝　 　． 3．综合与实践 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，三角板EFG的直角顶点E在矩形ABCD的边AD上，∠EFG＝30°，将△EFG绕点E旋转． （1）如图1，当直角边EF经过点B，EG的延长线经过点C时． ①求证：△ABE∽△DEC． ②求AE的长． （2）如图2，旋转△EFG，若点F落在AB的延长线上，EG与CD交于点H，且H为DC的中点，EG的延长线与BC的延长线交于点M，连接MF，求∠GFM的度数． 4．【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．易知＝　 　． 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．则＝　 　． 【拓展提升】 如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE． （1）求的值； （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 5．如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一动点（不与点A，D重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交边DC于点F．随着E点位置的变化，F点的位置随之发生变化． （1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEF始终保持相似关系，请说明理由； （2）若AD＝2AB＝2． ①当点F是线段CD的中点时，求线段AE的长； ②过点B作BG⊥BE交射线DC于点G，连接BF，当△BFG是以FG为腰的等腰三角形时，直接写出线段AE的长． 6．在数学兴趣小组活动中，同学们进行了以下数学探究活动． 【特例初探】 （1）如图①，AD为△ABC的角平分线，∠ADB＝60°，点E在AC上，AE＝AB．求证：DE平分∠ADC． 【延伸再探】 （2）如图②，在（1）的条件下，在AC上取一点F，使BF＝CF，BF交AD于点G．若BC＝10，DE＝4，求DG的长． 【迁移运用】 （3）如图③，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠ACD＝2∠ACB，点E是AC上一点，∠EBC＝∠ADC．若BC＝2，CD＝5，AB＝AE，求AC的长． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+a与x轴交于点C，与y轴交于点B． （1）求a的值； （2）在直线l2上找一点M，使得AM平分∠BAC，求M的坐标； （3）①N为直线l1上一点，过N且平行x轴的直线平分△ABC的面积，直接写出N的坐标； ②P为x轴上一点，且∠PBC+∠ABO＝45°，直接写出点P的坐标． 8．如图①，在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，P为对角线BD上的一点，连接AE交BD于点F，连接PA、PE、PC． （1）求证：PA＝PC； （2）若PE＝PC，求证：PE2＝PF•PB； （3）如图②，若△ADP≌△ABF，AB＝6，求PE的长． 9．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE． （1）求证：△ABF∽△BQC； （2）求证：BF＝FQ； （3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积． 10．如图，在菱形ABCD和等腰△DEF中，∠ADC＝2∠EDF＝2α，ED＝EF，点F在边AB上，BD交EF于点H． （1）求证：△DEH∽△DAF； （2）如图2，连接CE，＝，AF＝2CE．求的值； （3）如图3，延长FE交CD于G，∠α＝30°，BF＝2AF，直接写出的值． 11．尝试：如图①，△ABC中，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为B′、C′，连接BB′、CC′，图中有哪一对相似三角形，给出证明； 拓展：如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转