专题09 排列组合常用技巧与归纳-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题09 排列组合常用技巧与归纳 【考点预测】 1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 【典型例题】 例1．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（    ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 【答案】B 【解析】首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样就剩三个足球了，这三个足球随便放置， 下面是一个分类计数问题， 第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果； 第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列，有种结果； 第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果， 综上可知共有种结果. 故选：B. 例2．（2023春·高二课时练习）在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A，B，C三个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，且甲不能安排到A村，则不同的分配方案种数为（    ） A．12 B．14 C．24 D．28 【答案】C 【解析】因为4名党员被安排到A，B，C三个村，每个村至少安排1名党员, 所以必须有2人一组， 分两类，第一类，甲在两人组，取1人与甲一组有种，分配到村，有种安排方法，其余2人分配到剩余2个村有种，由分步乘法计数原理可得种； 第二类，甲在1人组，先分配到B，C其中一个村，有种安排方法，再把剩余的人分成两组有种，分配到剩余2个村，有种分配方法，由分步乘法计数原理可得种， 根据分类加法计数原理可得， 故选：C 例3．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）书架上已有《诗经》、《西游记》、《菜根谭》、《呐喊》、《文化苦旅》五本书，现欲将《围城》、《骆驼祥子》、《四世同堂》三本书放回到书架上，要求不打乱原有五本书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】分以下两种情况讨论： （1）《围城》与《骆驼祥子》、《四世同堂》这两本书不相邻， 将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑，形成一个“大元素”， 然后将“大元素”与《围城》插入由《诗经