专题08 证明不等式-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08 证明不等式 【考点预测】 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】 例1．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数. (1)求函数的零点个数； (2)若，且，求证：. 【解析】（1）由得， 设，且， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，仅当时取等号， 故时R上的单调增函数， 又， 故在上有唯一的零点，即在R上有唯一的零点， 即函数的零点个数为1个. （2）因为， 故要证明：，， 即， 只需证：，即需证：， 即证：， 由（1）可知为R上的单调增函数， 故当时，，即，即， 故 ，即， 令，即， 故成立. 例2．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明． 【解析】（1）函数的定义域为， ． 若，则当时，，故在上单调递减； 若，则当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 所以等价于，即． 设，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值且为最小值，最小值为． 所以当时，． 从而当时，，即． 例3．（2023春·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，曲线与在点处有相同的切线. (1)求､的值； (2)证明：. 【解析】（1）因为函数，， 所以，， 由曲线与在点处有相同的切线，得，， 即，， 所以，； （2）由，可得， 因为，所以原问题即证. 令，则， 由，可得，由，可得， 所以的单调递减区间为，单调递减区间为， 故在处取得极小值，也是的最小值， 所以， 故. 例4．（2023·上海·高二专题练习）已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)设，其中为的导函数.证明：对任意，. 【解析】（1）由题意可得：，， ∵在,处的切线与轴平行，即， . （2）由（1）得：，， 令，， 当时，则，故； 当时，则，； ∵， 则时，；时，； 故的单调递增为，单调递减为. （3）由，即，， 对，，等价于对，， 由（2）对于，，则，， 当时，；当时，； 可得在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 设，则对恒成立， 故在上单调递增，则，即； 综上：，故，，得证. 例5．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知为自然对数的底数，证明：对.参考公式： 【解析】（1）由题意可得：的定义域为，且， 注意到，则有： ①当时，， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，解得或， 若，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 若，即时，则在定义域内恒成立； 故在上单调递增； 若，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述： 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知：当时，在上单调递增， 则时，，即对恒成立， 故， 则 ， 即， ∵，则，即， ∴， 故， ∴得证. 例6．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【解析】（1）函数的定义域为， ， 记，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以， 所以函数在上单调递增； （2）原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 【过关测试】 1．（2023春·山东菏泽·高二统考阶段练习）已知函数． (1)当a=0时，求函数的最小值； (2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，． 【解析】（1）当a=0时，． 定义域为， 令，则，故在上单调递增. 因，，则在上有唯一零点，即.则在上，，即，在单调递减. 在上，，即，在上单调递增. 故，又， 则.即函数的最小值为0； （2）由题，，，则a=1； 即，则 故在上单调递增，在上单调递递减，则. 则当时，，即. 取，其中 ，则. 则. 又注意到 .故. 2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶