专题07 洛必达法则-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题07 洛必达法则 【考点预测】 法则1、若函数和满足下列条件：（1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 法则2、若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3）， 那么=． 法则3、若函数和满足下列条件：（1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1、上面公式中的，，，洛必达法则也成立． 2、洛必达法则可处理，，，，，，型． 3、在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． 4、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】 例1．已知． （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，， 令，则 所以当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时，（1）， 即在上单调递增， 所以的增区间为，无减区间． （2）对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立． 当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立． 记，则， 记， 则， 所以在单调递减，又（1）， 所以，时，，即， 所以在单调递减． 所以， 综上所述，的取值范围是． 例2．已知函数． （1）若函数在点，（1）处的切线经过点，求实数的值； （2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 【解析】解：（1），在点，（1）处的切线的斜率（1）， 又（1），切线的方程为， 即，由经过点， 可得． （2）证明：易知为方程的根， 由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可． ①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，，， 令，故在单调递增，在单调递减， 故在单调递减， 从而，，此时方程也无解． 若，由， 记，则， 设，则有恒成立， 恒成立， 故令在上递增，在上递减 （1），可知原方程也无解， 由上面的分析可知时，，方程均无解． ②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，和①中的分析同理可知此时方程也无解． 若，由， 记，则， 由①中的分析知， 故在恒成立，从而在上单调递增， 当时，， 如果，即，则， 要使方程无解，只需，即有 如果，即，此时，，方程一定有解，不满足． 由上面的分析知时，，方程均无解， 综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解， 的取值范围为． 例3．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求实数的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），； 函数在处取得极值，； 又曲线在点处的切线与直线垂直，； 解得：； （2）不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令，则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 （或，， 得在是减函数，进而）． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为． 例4．设函数．如果对任何，都有，求的取值范围． 【解析】， 若，则； 若，则等价于，即 则． 记， 因此，当时，，在上单调递减，且， 故，所以在上单调递减， 而． 另一方面，当时，， 因此． 【过关测试】 1．已知函数，若当时，，求的取值范围． 【解析】由题意可知，当时，，等价于，则有， 设，则． 又设，则， 所以在上单调递增，而， 所以在上单调递增， 对于，当时，， 所以符合洛必达法则条件， 所以， 即当时，的取值范围是． 2．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【解析】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当时，，当时，，所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时，的取值范围是． 3．已知函数．当时，求的取值范围． 【解析】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 4．已知函数的最小值为0，若对任意的有成立，求实数的取值范围． 【解析】由题意知，对任意的，当时，恒成立， 则当时，，等价于 设， 则 设，， 所以在上单调递减． 当时，，不符合洛必达法则． 将通分得， 当时，满足洛必达法则的条件， 所以． 因此，实数的最小值是． 5．已知函数，若，求的取值范围． 【解析】由得，即求的最大值， 由洛必达法则知，只需证明即可． 设，则， ，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，，所以不等式成立， ． 6．设函数，，，其中是的