专题05 利用导数研究函数零点问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题05 利用导数研究函数零点问题 【考点预测】 1、利用导数确定函数零点的常用方法 （1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法 （1）分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构建不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【典型例题】 例1．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，设， 则，设， 由函数和在上单调递增， 知函数在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以 即在上恒成立； （2）由，得，令， 则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点， 令，得， 当时，当时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0， 作出函数的大致图象如下： 结合图象可知，当时，与的图象有2个交点， 故a的取值范围是． 例2．（2023春·广东广州·高二广东华侨中学校考阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围； 【解析】（1）， 时，恒成立，在上是增函数； 时，时，是减函数，时，是增函数， 综上， 时，在上是增函数，时，在上是减函数， 在上是增函数. （2）当时，由 (1)得在上是增函数，不符合题意； 当时，由(1)得. ①当时，，只有一个零点，不符合题意； ②当时，，故在有一个零点， 又在上是增函数， 设，，， ∴在单调递增，， ∴在单调递增，， 设，由知，当，，单调递减；当，，单调递增， ∴，即， 故在有一个零点，故函数有两个零点； ③当时，，故有一个零点， 又在上是减函数，，由②得， 故在有一个零点，故函数有两个零点, 综上，的取值范围是或. 例3． 对于含参函数，难点在于找到合适的自变量满足零点存在定理，本题中可根据函数形式，构造函数说明时，及；时，及. 例4．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 【解析】（1）因为 则，即，所以，经检验符合题意 （2），则. 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则. 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. （3）当时，由可得，令，其中， 则直线与函数在上的图像有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减. 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 例5．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数. (1)求的极值； (2)设函数，讨论的零点个数. 【解析】（1）因为，则， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值，极大值为，无极小值； （2）因为， 所以， 由，可得或，由，可得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，当时， ，当时， ∴当或，即或时，有一个零点， 当或，即或时，有两个零点， 当且，即，有三个零点， 综上：当或时，有一个零点；或时，有两个零点；，有三个零点. 例6．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知函数. (1)若函数单调递增，求实数的取值范围； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 若函数单调递增，可得恒成立， 可化为， 由函数的值域为，可得； 所以实数的取值范围为. （2）①当时，，此时函数单调递增，不可能有两个零点； ②当时，令，可得， 可得函数的减区间为，增区间为， ， 若函数恰有两个零点， 只需，可得， 令，有， 令，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则， 可得函数单调递增， 有（当且仅当时取等号）， 可得当时，不等式成立. 故当且时，有， 可得， 又由， 可得此时函数有且仅有两个零点. 由上知，若恰有两个零点，实数的取值范围为. 例7．（2023春·辽宁铁岭·高二铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知函数. (1)若 在上单调递增，求a的取值范围； (2)若存