专题04 利用导数研究函数有解问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题04 利用导数研究函数有解问题 【考点预测】 1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 2、直接讨论法 直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等． 【典型例题】 例1．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数（）． (1)当，求f（x）的极值． (2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，） 【解析】（1）的定义域为， 当时，， ∴， 令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7， ∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7） ∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3； （2），令， 若，则， ∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减， ∴当时，f（x）在上单调递减， ∴f（x）在上的最大值为， ，令，得， 当时，，∴单调递减， 当时，，∴g（x）单调递增， ∴在上的最小值为， 由题意可知，解得， 又∵， ∴实数a的取值范围为[1，4）． 例2．（2023春·天津宝坻·高二校考阶段练习）已知函数. (1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【解析】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为， 因为，所以由导数的几何意义知，， 所以，解得：. （2）的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，令，解得：， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，则单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3）若存在，使得，转化为证明， 由（2）知，当时，则在上单调递增，而， 则存在，使得， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以， 解得：，因为，所以. a的取值范围为. 例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0， 因此，解得，此时， 当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0， 所以函数的解析式为. （2），不等式， 令，，求导得， 因此函数在上单调递减，则当时，， 因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有， 所以实数的取值范围是. 例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【解析】（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上：时在上单调递增. 时在上单调递增，在上单调递减 时在上单调递增，在上单调递减. （2）若在区间上有解，即求 当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意. 当时在上单调递增，在上单调递减 当时，所以函数在单调递减， 所以成立，满足题意. 时，函数在单调递减，在上单调递增. 所以不成立，舍去 时在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在单调递增，，所以 综上的取值范围为： 例5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数， （1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）； （2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数只有1个零点. (，， 当时，，或；当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以有极大值和极小值，且， 所以函数只有1个零点.） （2）令 ，则， 当时，，或，           当时，， 当时，，或 则当变化时，及的变化情况如下表： -2 0 0 极小值 极大值 由上表可知，函数的增区间是 ，减区间是和， 当时， 函数取得极小值， 当时， 函数取得极大值， 由，当时，，当时，， 所以，轴是函数的图象的渐近线 所以，当时， 函数的最小值为， 若，使关于的不等式能成立， 则大于的最小值，即， 所以，实数的取值范围是 （2）另法： 关于的不等式能成立等价于不等式能成立， 当时，能成立，满足条件； 当时，抛物线开口向上，    ，