专题01 导数的基本概念和切线有关的问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题01 导数的基本概念和切线有关的问题 【考点预测】 一、基本概念 1、导数的概念 设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即 2、导数的几何意义 函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为 3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度． 二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表 ，为正整数 为有理数 注： 三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设均可导，则 （1）（2） （3）（4） 注： 四、复合函数的导数 复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即． 五、函数在处的导数几何意义 函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为． 【典型例题】 例1．（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】记，， 由图易知，所以． 故选：C． 例2．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则， 又， 函数在处的切线方程为， 设直线与函数的图象相切于， 则，， 联立解得，. 故选：A 例3．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，， ． 故选：C 例4．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得：， 所以而， 所以在处的切线方程为：，即. 故选：C 例5．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【解析】对求导得， 由得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D． 例6．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，是直线上的动点，则之间的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行， 由，则 ，由已知有， 解得或(舍去)， 则之间的最短距离为点到直线的距离，由点到直线的距离公式， 故选：A. 例7．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ） A．e B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为， 则，解得. 故选：C 例8．（多选题）（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习）过点有三条直线和曲线相切，则实数的可能取值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．4 【答案】CD 【解析】由，得， 设切点为，则过切点的切线方程为， ， 整理得，令， 由题意得，有3个零点，， 由，得或， 当时，函数只有一个零点，舍去； 当时，，由，得或，由，得， 是函数的极大值点，由于，函数没有3个零点，舍去； ，同理可得是函数的极大值点，是函数的极小值点， 由于，由条件结合三次函数的性质可得：，即． 实数的取值范围是． 故选：CD． 例9．（多选题）（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（    ） A．1 B．e C．e2 D．3e 【答案】AB 【解析】设两曲线与的两个切点分别为，， 由可得；由可得， 则过两切点的切线方程分别为，， 化简得，． 因为两条切线为同一条，所以， 解得． 令，， 令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以． 故选：AB. 例10．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）已知直线是曲线与的公切线，则__________. 【答案】 【解析】设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即 同理，设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即， 所以，解得， 所