专题10 二项式定理常见考题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题10 二项式定理常见考题 【考点预测】 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 3、二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 4、二项式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 考点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． （2）展开式中的系数求法（的整数且） 考点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 5、二项式定理的应用 （1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． （2）利用赋值法进行求有关系数和． （3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． （4）证明有关的不等式问题． （5）进行近似计算． 【典型例题】 例1．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）的个位数字为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】因为 ， 而个位数均为0， 所以的个位数字与相同， 而 因为个位数均为0， 所以的个位数字与相同， 故的个位数字为7. 故选：B 例2．（2023·上海·高二专题练习）被9除所得的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】由题意可得：， 可知的展开式为， 当时，均可被9整除； 当时，被9除所得的余数为7； 综上所述：被9除所得的余数为7. 故选：D. 例3．（2023·江苏·高二专题练习）设，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以， 故， 故选：B. 例4．（2023·全国·高二专题练习）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 例5．（2023·江苏·高二专题练习）的展开式中含的项的系数为（    ） A． B．60 C． D．30 【答案】A 【解析】的展开式中含的项为， 的展开式中含的项为， 的展开式中含的项的系数为. 故选：A. 例6．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，共有多少项？（    ） A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【解析】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项, 当展开式的项含有3个字母时，有项, 所以的展开式共有45项； 故选：A. 例7．（2023春·高二课时练习）的展开式中，含项的系数为（    ） A．10 B．－10 C．2 D．－2 【答案】C 【解析】的展开式中，含项的系数是由两个因式相乘而得到的， 即“第一个因式的常数项乘第二个因式的一次项”+“第一个因式的一次项乘第二个因式的常数项”， 为， 其系数为. 故选：C. 例8．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）的展开式中二项式系数和为（    ） A． B．24 C． D．16 【答案】D 【解析】的展开式中二项式系数和为. 故选：D 例9．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】令，由 可得 即 故选：C 例10．（2023春·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中有理项共有（    ） A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 【答案】C 【解析】二项式系数和为， 在中，令，得， 由， 二项式的通项公式为， 令，则，所以展开式中有理项共有3项， 故选：