专题23 正态分布（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册）

23 正态分布 目录 ☆【题型一】正态密度曲线及其性质 1 ☆【题型二】随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 4 ☆【题型三】利用正态密度曲线的对称性求概率 7 ☆【题型四】标准正态分布 8 ☆【题型五】正态分布的实际应用 11 ☆【题型一】正态密度曲线及其性质 【例题】函数f(x)＝(其中μ<0)的图象可能为(　　) 【总结】利用正态密度曲线的特点求参数μ，σ (1)正态密度曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态密度曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 【变式训练】 1．已知三条正态密度曲线φi(x)＝·(x∈R，i＝1,2,3)如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 2．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为P(x)＝(x∈R)，则下列命题不正确的是(　　) A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 3．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态密度曲线f(x)＝，x∈R如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 4．(多选)以下关于正态密度曲线f(x)＝e－(x∈R)的说法中正确的是(　　) A.曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交 B.曲线关于直线x＝μ对称 C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 D.曲线与x轴之间的面积为1 5．(多选)下面给出的关于正态密度曲线的4个叙述中，正确的有(　　) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 6．(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的均值最小 C．乙科总体的标准差及均值都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的均值不相同 7．(多选)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态密度曲线如图所示．下列结论中错误的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t) 8．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)， N(μ2，σ)，其正态密度曲线f(x)＝·e－，x∈R 如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 ☆【题型二】随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 【例题】设ξ～N(1,22)，试求： (1)P(－1<ξ<3)；(2)P(3<ξ<5)． 【总结】充分利用正态密度曲线的对称性及面积为1的性质求解 (1)熟记正态密度曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等． (2)P(X<a)＝1－P(X≥a)；P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． 【变式训练】 1．设ξ～N(1,22)，试求P(ξ≥5)． 2．为了解某省高中男生的身体发育情况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他们的体重X(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，正态密度曲线如图所示．若体重落在区间(58.5,62.5)内属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是(　　) A．954 B．819 C．683 D．317 3．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态密度曲线在(－∞，80)上单调递增，在(80，＋∞)上单调递减，且P(72<X<88)≈0.683. (1)求参数μ，σ的值； (2)求P(64<X≤72)． 4．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>1＋c)＝P(X<c－1)．则： (1)c＝______； (2)P(－4<X<8)≈________. 5．已知随机变量ξ服从正态分