专题5.3简单的轴对称图形-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

专题5.3 简单的轴对称图形 1.掌握等腰三角形、等边三角形性质与判定的应用； 2.认识和探索30°直角三角形的性质； 3.会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和推理. 知识点01. 等腰三角形 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角” （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”） （3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3、等腰三角形的判定： （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等 知识点02. 线段的垂直平分线（简称中垂线）： 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 作法：作已知线段的垂直平分线。 知识点03. 角平分线的性质： 1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3、作已知角的角平分线。 知识点01 等腰三角形 典例：1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P，若AB=10cm，BC=6cm，则△PBC的周长等于（   ） A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论． 【详解】∵中，， ∴， AB的垂直平分线交AC于P点， ∴， ∴ ∴的周长=(BP+PC)+BC=AC+BC=， 故选：D． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 巩固练习 1．下列正确的有（   ） 三角形的三条角平分线的交点在三角形内三角形三条中线的交点在三角形内三角形的三条高线的交点在三角形内 三角形的三条高线的交点在三角形外 A．个 B．个 C．个 D．个 知识点02 线段的垂直平分线（简称中垂线） 典例：1. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 由作图可知为的中垂线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质以及等边对等角是解题的关键． 巩固练习 1．在中，，的垂直平分线交与点，若，，则___________． 知识点03 角平分线的性质 典例：1.如图，在中，以点A为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点G．若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAG=∠DGA，进而得到AD=DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即可解决问题． 【详解】解：过A作AM⊥CD于M， 根据作图的方法可得AG平分∠DAB， ∵AG平分∠DAB， ∴∠DAG=∠BAG， ∵,， ∴CD∥AB，AD=BC=6，， ∴∠DGA=∠BAG， ∴∠DAG=∠DGA， ∴AD=DG=BC=6， ∵， ∴∠DGA=30°，∠ADM=60°， ∴在Rt△ADM中，， ∴， ∴在Rt△AGM中，， 故选：A． 【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键． 巩固练习 1．如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________． 知识点04 三角形的角 典例：1.如图所示，是的内角平分线，是的外角平分线，若 ，则____． 【答案】##度 【分析】根据三角形外角的性质结合角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是的内角平分线，是的外角平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 巩固练习 1．如图，，外角，是的平分线，求的度数． ( 能力 提升 ) 一、单选题 1．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） ①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部  ②