导数与函数的单调性复习课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

二 导数与函数的单调性 一、必记3个知识点 1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内________． (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内________． (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内____________． 单调递增 单调递减 不具备单调性 [提醒]　注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”或“和”字隔开． 探究点一 求函数的单调性 例题1： [例2]　已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 探究点一 含参数的函数的单调性 解析：函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝. ①当0<a<1时，>1， ∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； ②当a＝1时，＝1， ∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1， ∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 一题多变　 (变条件)若例1中“a>0”改为“a∈R”，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？ 解析：当a>0时，讨论同例1； 当a≤0时，ax－1<0， ∴x∈(0，1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 探究点三 根据函数的单调性求参数值(范围) 【例3】 (1)若函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间[ ,4]上单调递增,则实数c的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.(-∞,8] D.[-2,4] 【例4】 (1)若函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间[ ,4]上单调递增,则实数c的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.(-∞,8] D.[-2,4] （3） [例5]　[2022·河北石家庄市高三一模]已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)>2，f(2)＝4，则不等式xf(x－1)>2x2－2x的解集为____________________． 解析：构造函数g(x)＝f(x)－2x，则g′(x)＝f′(x)－2>0，即函数g(x)在R上为增函数， 且g(2)＝f(2)－2×2＝0. ①当x<0时，由xf(x－1)>2x2－2x可得f(x－1)<2(x－1)，即f(x－1)－2(x－1)<0， 即g(x－1)<0＝g(2)，可得x－1<2，解得x<3，此时x<0； ②当x>0时，由xf(x－1)>2x2－2x可得f(x－1)>2(x－1)，即f(x－1)－2(x－1)>0. 即g(x－1)>0＝g(2)，可得x－1>2，解得x>3，此时x>3. 综上所述，不等式xf(x－1)>2x2－2x的解集为(－∞，0) (－∞，0) 探究点三 函数单调性的应用---构造函数比大小及解不等式 类型一　 (1)f′(x)＋g′(x)>0(或<0)构造函数,　F(x)＝f(x)＋g(x) (2)f′(x)－g′(x)>0(或<0)构造函数,　F(x)＝f(x)－g(x) (3)f′(x)>k(或<k)构造函数,　F(x)＝f(x)－kx 探究点三 函数单调性的应用 解析 (1)构造函数h(x)=exf(x), 因为f(x)+f'(x)>0在R上恒成立, 所以h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0, 所以函数h(x)在R上单调递增, 故h(-2 023)<h(0),即e-2 023f(-2 023)<e0f(0),即e-2 023f(-2 023)<f(0). 同理,h(2 023)>h(0),即e2 023f(2 023)>f(0),故选A. 【例6】 已知f(x)为R