压轴题05 空间向量与立体几何压轴题-2023年高考数学压轴题专项训练（全国理科通用）

压轴题05 立体几何压轴题 题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积 题型/考向二：外接球、内切球等相关问题 题型/考向三：平行关系、垂直关系、二面角等相关问题 1、 空间几何体的体积、表面积 热点一　空间几何体的侧面积、表面积 柱体、锥体、台体和球的表面积公式： (1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l). (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l). (3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl). (4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.　 热点二　空间几何体的体积 柱体、锥体、台体和球的体积公式： (1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (3)V台体＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)； (4)V球＝πR3.　 2、 外接球、内切球问题 类型一　外接球问题 考向1　墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R. 则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常见的有以下三种类型： 　 考向2　对棱相等模型 对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如图. 考向3　汉堡模型 汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下， 由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.　 考向4　垂面模型 垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝，则R＝. 类型二　内切球问题 内切球问题的解法(以三棱锥为例) 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积； 第二步：设内切球的半径为r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋ VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r； 第三步：解出r＝.　 类型三　球的截面问题 解决球的截面问题抓住以下几个方面： (1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).　 3、 平行关系和垂直关系的证明、二面角等 热点一　空间线、面位置关系的判定 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题. (2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断. (3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.　 热点二　几何法证明平行、垂直 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.　 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 热点三　空间向量法证明平行、垂直 1.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. 2.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的