第一章 高考增分策略(1)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P9] 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质． 一、形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立” 　已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． [解析]　由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为. 令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是[－2，0]. [点评]　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围． 二、形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” 　已知函数f(x)＝ 函数g(x)＝k sin －2k＋2(k＞0)，若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围． [解析]　由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分．先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以要使两个值域有公共部分，k的取值范围是. [点评]　本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想．另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围． 三、形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)<g(x2)成立” 　已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________． [解析]　依题意知f(x)max≤g(x)max. ∵f(x)＝x＋在上是减函数， ∴f(x)max＝f＝. 又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数， ∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. [答案]　 [点评]　理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max，利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围． [对应学生用书P261] [保分练] 1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　) A.¬p∨q B．p∧q C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q) 解析　命题p为真命题，命题q为假命题，从而选项中只有(¬p)∨(¬q)为真命题． 答案　D 2．命题p：∀x∈R，x2＋4x＋4>0，则命题p的否定¬p以及¬p的真假性为(　　) A．¬p：∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0，假 B．¬p：∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0，真 C．¬p：∃x0∈R，x＋4x0＋4>0，假 D．¬p：∀x∈R，x＋4x0＋4≤0，真 解析　由全称命题的否定为特称命题，可得否定是“∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0”，令x0＝－2，则x＋4x0＋4＝4－8＋4＝0，所以命题“∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0”为真命题，故选B. 答案　B 3．(2022·广东梅州质检)下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，ex－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，ln x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 解析　因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题．故选B. 答案　B 4．有关下列命题的说法正确的是(　　) A．命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题为“若x2＝4，则x≠2” B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件 C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题 D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题 解析　命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题为“若x2≠4，则x≠2”，所以A错误；“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，所以B错误；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以其逆否命题为真命题，C错误；若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，D正