第四章 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 [高考要求]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． [对应学生用书P67] 知识点一　角的概念的推广 1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类 3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 知识点二　弧度制的定义和公式 1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 [微提醒]　有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 知识点三　任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). 2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 1．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 3．象限角 4．轴线角 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　　) (3)若sin α＝sin ，则α＝.(　　) (4)－300°角与60°角的终边相同．(　　) (5)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.(　　) 答案　(1)×(2)×(3)×(4)√(5)× 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C. 答案　C 3．(活用结论)若sin α<0，且tan α>0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C. 答案　C 4．(教材改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________． 解析　由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝. 答案　 5．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________． 解析　由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1. 答案　－1 [对应学生用书P68] 考点一　象限角及终边相同的角(自主练透) 1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样． 答案　B 2．若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 解析　∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．故选C. 答案　C 3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的表式，使|θ|最小的θ值是(　　) A.－ B．－ C． D． 解析　∵－＝－2π－， ∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的． 答案　A 4．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 解析　如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为. 答案　 [