第三章 高考增分策略(6)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P58] 以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 一、构造y＝f(x)±g(x)型可导函数 　设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为________． [解析]　令φ(x)＝f(x)－sin x， ∴当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0， ∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递减， 又f(x)为R上的奇函数， ∴φ(x)为R上的奇函数， ∴φ(x)在(－∞，0]上单调递减， 故φ(x)在R上单调递减且φ(0)＝0， 不等式f(x)<sin x可化为f(x)－sin x<0， 即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)， 故x>0， ∴原不等式的解集为(0，＋∞). [答案]　(0，＋∞) 二、利用f(x)与x构造可导型函数 　设f(x)是定义在R上的可导函数，且x∈R时满足f(x)＋xf′(x)<0，则不等式f(x－1)>f(－1)的解集为________． [思路点拨]　出现“＋”法形式，优先构造F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性求解即可． [解析]　构造F(x)＝xf(x)， 则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0， ∴F(x)在R上单调递减， ∵f(x－1)>f(－1)，∴x－1<－1， 即x<0， 即不等式f(x－1)>f(－1)的解集为(－∞，0). [答案]　(－∞，0) 　设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________． [思路点拨]　出现“－”法形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可． [解析]　构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增． ∵f(x)为偶函数，y＝为奇函数，∴F(x)为奇函数， ∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞). [答案]　(－∞，－1)∪(1，＋∞) [方法策略] (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 三、利用f(x)与ex构造可导型函数 　已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　) A．f(2)>e2f(0)，f(2021)>e2021f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2021)>e2021f(0) C．f(2)>e2f(0)，f(2021)<e2021f(0) D．f(2)<e2f(0)，f(2021)<e2021f(0) [思路点拨]　满足“f′(x)－f(x)<0”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化． [解析]　构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)，则F′(x)<0，F(x)在R上单调递减，根据单调性可知选D. [答案]　D [方法策略] (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x). (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 四、利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数 　已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是(　　) A.f<f B．f<f C．f(0)<f D．f(0)<2f [思路点拨]　满足“f′(x)cos x＋f(x)sin x>0”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化． [解析]　构造F(x)＝，则F′(x)＝，导函数f′(x)满足f′(x)cosx＋f(x)sin x>0，则F′(x)>0，F(x)在上单调递增．把选项转化后可知选A. [答案]　A [方法策略] f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式： F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝，F′(x)＝； F(x)＝f(x)co