第三章 第二节 第5课时　利用导数研究函数的零点-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第5课时　利用导数研究函数的零点 [对应学生用书P65] 考点一　数形结合研究函数的零点(师生共研) 　设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． [解析]　(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋， f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2. (2)由题意，知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0). 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1). 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知， ①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<时，函数g(x)有两个零点． [方法策略] 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围． 已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数). (1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程； (2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上上有两个不等实根，求实数a的取值范围． 解析　(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex， g′(x)＝ex(－x2＋2x＋1)， ∴g′(1)＝2e，又g(1)＝0， ∴切线的斜率为2e，切点为(1，0)， ∴所求的切线方程为y－0＝2e(x－1)，即y＝2e(x－1). (2)方程g(x)＝2exf(x)可化为－x2＋ax－3＝2x ln x， 即a＝2ln x＋x＋. 令φ(x)＝2ln x＋x＋，x∈， ∴φ′(x)＝＋1－＝＝， ∵当x∈时，φ′(x)<0，当x∈(1，e]时， φ′(x)>0， ∴φ(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴φ(x)min＝φ(1)＝4， 又φ＝3e＋－2，φ(e)＝＋e＋2， 且φ>φ(e)， ∴画出y＝φ(x)的图象如图所示． 则4<a≤＋e＋2， 故实数a的取值范围是. 考点二　利用函数性质研究函数的零点(师生共研) 　已知函数f(x)＝ex－a(x＋2). (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)， 则f′(x)＝ex－1， 令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f′(x)＝ex－a.①当a≤0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故f(x)至多存在一个零点，不合题意． ②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a). (ⅰ)若0<a≤，则f(ln a)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上至多存在一个零点，不合题意． (ⅱ)若a>，f(ln a)<0.因为f(－2)＝e－2>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点． 由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0. 所以当x>4且x＞2ln (2a)时，f(x)＝e·e－a(x＋2)>eln (2a)·－a(x＋2)＝2a>0. 故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点． 从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点． 综上，a的取值范围是. [方法策略] 涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围． 已知函数f(x