第三章 第二节 第1课时　导数与函数的单调性-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第1课时　导数与函数的单调性 [对应学生用书P56] 考点一　求函数的单调区间(自主练透) 1．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B． C．(－∞，－1) D． 解析　由y＝4x2＋，得y′＝8x－(x≠0)， 令y′>0，即8x－>0，解得x>， ∴函数y＝4x2＋的单调递增区间为. 故选B. 答案　B 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1) 解析　∵f′(x)＝2x－＝(x>0)， 令f′(x)＝0，得x＝1， ∴当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 答案　A 3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是______________________． 解析　f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x. 令f′(x)＝x cos x>0， 则其在区间(－π，π)上的解集为∪， 即f(x)的单调递增区间为和. 答案　和 [练后悟通] 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 考点二　讨论函数的单调性(典例迁移) 　已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． [解析]　函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝ ＝. 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1. ①当0<a<1时，>1， ∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增， 在上单调递减； ②当a＝1时，＝1， ∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1， ∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增， 在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． (变条件)若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？ 解析　当a>0时，讨论同上； 当a≤0时，ax－1<0， ∴x∈(0，1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)对， f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增， 在上单调递减． [方法策略] 函数在某区间上的单调性的讨论 (1)在区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零． (3)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数取值范围的问题，可化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．要注意“＝”能否取到． 已知函数g(x)＝ln x－mx(m∈R)，求函数g(x)的单调区间． 解析　g′(x)＝－m(x>0)， ①当m≤0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当m>0时，令g′(x)>0，得0<x<，令g′(x)<0，得x>，则g(x)在上单调递增，在上单调递减． ∴当m≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间，当m>0时，g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 考点三　函数单调性的应用(多维探究) 角度一　比较大小或解不等式 　(1)已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) (2)已知f(x)＝2(x＋1)－cos x，则不等式f(ln x－1)<1的解集为(　　) A．(0，e) B．(1，＋∞) C．(e，＋∞) D．(1，e) [解析]　(1)因为f(x)＝x