第三章 第二节　导数的应用-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第二节　导数的应用 [高考要求]　1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭合区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题). [对应学生用书P54] 知识点一　函数的单调性与导数的关系 导数到 单调性 单调递增 在区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增 单调递减 在区间(a，b)上，若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减 单调性 到导数 单调递增 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0 单调递减 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0 [微提醒]　(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)>0(<0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验． 知识点二　函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 知识点三　函数的最值 1．在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． [微提醒]　f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系． (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数． 1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 4．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 5．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (3)函数的极大值一定大于其极小值．(　　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上f(x)单调递增 B．在区间(1，3)上f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上(x)单调递增 D．在区间(3，5)上f(x)单调递增 解析　在区间(4，5)上f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在区间(4，5)上单调递增． 答案　C 3．(教材改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是(　　) A． B． C．e D．e2 解析　因为f′(x)＝2－(ln ＋1)＝1－ln x，当f′(x)>0时，解得0<x<e；当f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.故选C. 答案　C 4．函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为________． 解析　f(x)的定义域为R， f′(x)＝(x－1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝1， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0； 当x