第七章 第三节　基本不等式-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第三节　基本不等式 [高考要求]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． [对应学生用书P134] 知识点一　基本不等式 若a，b∈R＋，则≥，当且仅当a＝b时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点二　常用不等式 1．若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”． 2．a2＋b2≥2|ab|. 3.≥2. 4.≥≥ab, ≥≥(a>0，b>0). 知识点三　利用基本不等式求最(大、小)值问题 1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2． 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值． [微提醒]　(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”．“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立． (2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立． 1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3.≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 4.＋≥2(a，b∈R，且a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　) (5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件.(　　) (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2．(教材改编)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b 解析　法一　(特值法)代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<＝<＝1.5<b＝2. 法二　(直接法)我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B. 答案　B 3．(易错)下列不等式证明过程正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x>0，y>0，则lg x＋lg y≥2 C．若x<0，则x＋≥－2＝－4 D．若x<0，则2x＋2－x>2＝2 解析　∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2＝2.∴D正确．而A，B首先不满足“一正”，C应当为“≤”． 答案　D 4．(易错)设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　) A．40 B．10 C．4 D．2 解析　∵x＋4y＝40，且x>0，y>0， ∴x＋4y≥2＝4(当且仅当x＝4y时取“＝”)，∴4≤40.∴xy≤100. ∴lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 100＝2. 答案　D 5．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是(　　) A．4 B．8 C．2 D．4 解析　∵2x＋4y≥2＝2＝2＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号， ∴2x＋4y的最小值为8. 答案　B [对应学生用书P135] 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究) 角度一　拼凑法求最值 　(1)在下列条件下，求y＝4x－2＋的最值． ①当x>时，求最小值； ②当x<时，求最大值； ③当x≥2时，求最小值． (2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________． [解析]　(1)①∵x>，∴4x－5>0. ∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5. 当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立． 故当x＝时，ymin＝5. ②∵x<，∴5－4x>0. ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式“＝”成立． 故当x＝1时，ymax＝1. ③当x≥2时，y＝4x－2＋为增函数， ∴ymin＝4×2－2＋＝. (2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为.故填. [答案]　(1)见解析　(2) [方法策略] (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)②.“二定”不满足时，需变形如例(1)①，“三相等”不满足时．可利用函数单调性如例(1)③. (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如本例(2)中的关键是变形，凑出和为常数． 1．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1