第六章 情境创新命题(4)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P122] 考点一　等差数列模型 　《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，戊所得为(　　) A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 [解析]　依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为(a－2d)钱，(a－d)钱，a钱，(a＋d)钱，(a＋2d)钱．由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，得a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d.又五人分五钱，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则a＋2d＝a＋2×＝＝.故选B. [答案]　B [点评]　以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是透过数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等． 考点二　等比数列模型 　中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主日：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为(　　) A． B． C． D． [解析]　5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列， 且S3＝50， 则＝50，解得a1＝， 所以马主人应偿还粟的量为a2＝2a1＝，故选D. [答案]　D [点评]　以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等． 考点三　已知递推公式的数列模型 　九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数a4为(　　) A.7 B．10 C．12 D．22 [解析]　因为数列{an}满足a1＝1， 且an＝ 所以a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4， 所以a4＝2a3－1＝2×4－1＝7.故选A. [答案]　A [点评]　求解已知递推公式的数列模型问题，关键是耐心读题、仔细理解，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式向待求量转化，如本题，实质就是已知a1＝1，且an＝求a4的问题． 考点四　周期数列模型 　意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*).此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2022项的和为(　　) A．672 B．673 C．1348 D．2022 [解析]　由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数， 故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，… 所以{an}是周期为3的周期数列， 且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2. 因为2022＝674×3， 所以数列{an}的前2022项的和为674×2＝1348.故选C. [答案]　C [点评]　以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题，透过数学文化的“表象”看“本质”，建立数学模型，如本题，实质是利用裴波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果． [对应学生用书P320] [保分练] 1．(2022·宜昌测试)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2023项和为(　　) A．－4 B．－5 C．1