第六章 第二节　等差数列及其前n项和-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第二节　等差数列及其前n项和 [高考要求]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． [对应学生用书P110] 知识点一　等差数列的有关概念 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． 2．等差中项 若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝． 知识点二　等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d． 2．前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝． 知识点三　等差数列的常用性质 1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). 2．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． 3．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 4．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 5．S2n－1＝(2n－1)an. 6．等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 关于等差数列奇数项与偶数项的性质 (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan， S奇－S偶＝an，＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________． 解析　d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17. 答案　－17 3．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________． 解析　由已知可得解得 ∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126. 答案　126 4．(易错)在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________． 解析　∵|a3|＝|a9|，∴|a1＋2d|＝|a1＋8d|， 可得a1＝－5d，∴a6＝a1＋5d＝0， 且a1>0，∴a5>0，故Sn取最大值时n的值为5或6. 答案　5或6 5．(用结论)(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________． 解析　设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29. 答案　29 [对应学生用书P111] 考点一　等差数列基本量的计算(师生共研) 　已知数列{an}是等差数列， (1)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； (2)若a1＝2，an＝－26，Sn＝－84，求公差d； (3)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a5＝a，S7＝63.求数列{an}的通项公式． [解析]　(1)法一　由已知可得 解得所以a10＝a1＋9d＝29. 法二　由S5＝5a3＝40，得a3＝8. 所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19， 得d＝3. 所以a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29. (2) 由①得(n－1)d＝－28，代入②式，得 －84＝2n＋·(－28)，得n＝7.∴d＝－. (3)法一　设正项等差数列{an}的公差为d， 则由题意，得 即 又因为an>0，所以a3＝a1＋2d>0，所以所以 所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1. 法二　设正项等差数列{an}的公差为d. 因为{an}是等差数列，且a1＋a5＝a， 所以2a3＝a，又an>0，所以a3＝7. 因为S7＝＝7a4＝63，所以a4＝9. 所以d＝a4－a3＝2， 所以an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1. [方法策略] 等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解