第九章 第一节　直线的倾斜角、斜率与直线方程-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第一节　直线的倾斜角、斜率与直线方程 [高考要求]　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素.3.掌握直线方程的几种形式(斜截式、点斜式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． [对应学生用书P171] 知识点一　直线的倾斜角 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°． 2．范围：倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°． 知识点二　直线的斜率 1．定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，该直线的斜率k＝tan_α． 2．过两点的直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. [微提醒]　斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2. 知识点三　直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用 [微提醒]　“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论. 特殊直线的方程 (1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1. (2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1. (3)y轴的方程为x＝0. (4)x轴的方程为y＝0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(易错)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　) A．0 B． C． D．不存在 解析　因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为. 答案　C 3．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________． 解析　由题意得＝1，解得m＝1. 答案　1 4．(教材改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0 5．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________． 解析　BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.故填x＋13y＋5＝0. 答案　x＋13y＋5＝0 [对应学生用书P172] 考点一　直线的倾斜角与斜率(典例迁移) 　(1)直线2x cos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． [解析]　(1)直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， 因为α∈，所以≤cos α≤， 因此k＝2·cos α∈[1，]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].又θ∈[0，π)，所以θ∈， 即倾斜角的取值范围是. (2)设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－]. 故直线l斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞). [答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞) 1．(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cos θ，sin2θ)，B(0，1)，则直线AB的倾斜角α