第九章 第五节 第2课时　直线与椭圆-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第2课时　直线与椭圆 [对应学生用书P186] 考点一　直线与椭圆的位置关系(自主练透) 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m＞1 B．m＞0 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 解析　法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5. 法二　由 消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0. 由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立， 即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立， 由于m>0且m≠5，∴5k2＋m－1≥0， ∴m≥1且m≠5. 答案　D 2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解析　将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，　③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时．方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． [练后悟通] 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 考点二　弦长及中点弦问题(多维探究) 角度一　弦长问题 　 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程． [解析]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件． ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－(x－1). 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|AB|＝|x1－x2| ＝·＝. 同理，|CD|＝＝. 所以|AB|＋|CD|＝＋ ＝＝，解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. [方法策略] 弦长的求法 (1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2y2)， 则|AB|＝ ＝(其中k为直线斜率). (2)焦点弦长最短为通径长. [提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 角度二　中点弦、弦中点问题 　已知椭圆＋y2＝1. (1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； (2)过N(1，2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程； (3)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程． [解析]　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有＋y＝1，＋y＝1. 两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0. ∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB， 代入后求得kAB＝－.　① (1)设弦中点为M(x，y)，则2＝－， ∴x＋4y＝0. 故所求的轨迹方程为x＋4y＝0(椭圆内部分). (2)不妨设l交椭圆于A，B，弦中点为M(x，y)，由①式，kl＝kAB＝－. 又∵kl＝kMN＝， ∴－＝. 整理得x2＋2y2－x－4y＝0(椭圆内部分)， 此即所求的轨迹方程． (3)由①式，弦所在的直线的斜率k＝－＝－， ∴其方程为y－＝－， 即2x＋4y－3＝0. [方法策略] 在求弦中点的轨迹时，要注意由于中点一定在曲线内部，因此轨迹方程只能表示在圆锥曲线内部的那部分曲线而不是全部．若是轨迹方程，则必须确定出变量的取值范围． 1．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B． C． D． 解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x