第九章 第八节 第3课时　证明与探索性问题-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第3课时　证明与探索性问题 [对应学生用书P202] 考点一　证明问题(师生共研) 　已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. [解析]　(1)由题意知⇒a＝，又a2＝b2＋c2，∴b＝1. 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　①(必要性)若M，N，F三点共线，设直线MN的方程为x＝my＋， 圆心O(0，0)到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1. 联立⇒(m2＋3)y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0， |MN|＝·＝·＝，必要性成立． ②(充分性)当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n. 此时圆心O(0，0)到MN的距离d＝＝1⇒n2－t2＝1， 联立⇒(t2＋3)y2＋2tny＋n2－3＝0，Δ＝4t2n2－4(t2＋3)(n2－3)＝12(t2－n2＋3)＝24. |MN|＝·＝⇒t2＝1，∴n2＝2. ∴MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，∴n>0，n＝， ∴直线MN的方程为x＝ty＋恒过点F(，0)， ∴M，N，F三点共线，充分性成立． 由①②可得M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. [方法策略] 常见的圆锥曲线中的证明问题 (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等． 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明． 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，|AB|＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)过F点作相互垂直的弦DE，MN，设DE，MN的中点分别为P，Q，当△FPQ的面积最大时，证明：点P，Q关于x轴对称． 解析　(1)设F(－c，0)，∵点A，B为过点F且垂直于x轴的直线交C的点， ∴|AB|＝，∴解得a＝2，b＝，c＝1， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明　由题意得直线DE，MN的斜率均存在， 设直线DE的斜率为k，则直线MN的斜率为－， 设直线DE的方程为y＝k(x＋1)，D(x1，y1)，E(x2，y2)， 联立直线与椭圆的方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝b2－4ac＝144k2＋144>0， 由根与系数的关系可得，x1＋x2＝， ∵P为DE的中点， ∴xP＝，yP＝k(xP＋1)＝， ∴P， ∴|PF|＝＝， 同理，用－代替k得Q， |QF|＝， ∴S△FPQ＝|PF|·|QF|＝××＝×， 设t＝(t≥2)，∴S△FPQ＝×＝×(t≥2)， 设f(x)＝12x＋(x≥2)，由对勾函数的性质，可知函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增， ∴当x＝2时，f(x)最小，即S△FPQ最大，此时＝2，解得k2＝1， ∴xP＝xQ＝－，yP＝－yQ，∴点P，Q关于x轴对称，即得证． 考点二　探索性问题(师生共研) 　已知F是抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，直线l：y＝k(x－m)(m>0)与抛物线E交于A，B两点，与抛物线E的准线交于点N. (1)当k＝1时，|AB|＝4，求抛物线E的方程． (2)是否存在常数k，对于任意的正数m，都有|FA|·|FB|＝|FN|2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． [解析]　(1)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去y得k2x2－2(k2m＋p)x＋k2m2＝0. ∵l与抛物线E交于两点，∴k≠0. 又m>0，p>0，∴Δ＝8k2mp＋4p2>0恒成立， ∴ 当k＝1时，|AB|＝4 ， ∴|AB|＝|x1－x2|＝2＝ 4，化简得(p＋2m＋2)(p－2)＝0.(弦长公式) ∵p＞0，m＞0，∴p＝2， ∴抛物线E的方程为y2＝4x. (2)假设存在常数k满足题意． ∵抛物线E的方程为y2＝2px，其焦点为 F，准线为x＝－， ∴N，从而 |FN|2＝p2＋k2.(两点间的距离公式) 由抛物线的定义得，|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋， ∴|FA|·|FB|＝·＝x1x2＋ (x1＋x2)＋＝＋. 由|FA|·|FB|＝|FN|2得＋＝p2＋ k2，即(k2－1)＝0.(题眼) ∵＞0，＞0，∴k2－1＝0，解得k＝±1. ∴存在k＝±1，使得|FA|·|FB|＝|FN|2对于任意的正数m都成立． [方法策略] 探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论． 已知中