第二章 情境创新命题(1)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P43] 　(2022·南通模拟)某地计划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)，当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间，则x的值为________；若2020年年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照计划至少还需________年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的. [解析]　由于每年治理面积占上一年年底沙漠面积的百分比均为x， 则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.设从2020年开始，还需治理n年，则n年后剩余沙漠面积为a(1－x)n，依题意，得a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤， 所以≤， 所以≥，解得n≥15，故至少还需治理15年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的. [答案]　1－　15 [点评]　本题以“沙漠治理”为背景，考查指数方程与指数不等式，以及指数函数的单调性等知识，意在考查数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养．破解此类题的关键是提炼题目的关键字眼，得出相应的方程或不等式，解方程或解不等式，即可得解． 　(2022·扬州模拟)改革开放40多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．若已知某市市财政下拨一项10 000万元的专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为关于投放资金x(单位：百万元)的函数M(x)(单位：百万元)，M(x)＝，处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为关于投放资金x(单位：百万元)的函数N(x)(单位：百万元)，N(x)＝0.25x. (1)设分配给植绿护绿项目的资金(单位：百万元)为a，两个生态维护项目五年内带来的收益总和(单位：百万元)为y，写出y关于a的函数解析式和定义域； (2)生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少． [解析]　(1)由题意可得处理污染项目投放资金(单位：百万元)为100－a. 所以N(a)＝0.25(100－a)， 所以y＝＋0.25(100－a)，其定义域为[0，100]. (2)由(1)可得y＝＋0.25(100－a)＝65－＝67.5－≤67.5－2＝67.5－20＝47.5， 当且仅当＝，即a＝30时等号成立， 此时100－a＝100－30＝70. 所以y的最大值为47.5，投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金分别为3000万元、7000万元． [点评]　本题以“植绿护绿和处理污染两个生态维护项目”为背景，考查函数模型、利用基本不等式求最值等知识，求解此类优化问题的关键是读懂题意，并会构建函数模型，注意联系实际求函数的定义域． [对应学生用书P277] [保分练] 1．(2022·成都名校联考)下列函数在区间(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　) A．y＝0.3x－ B．y＝x3＋1 C．y＝log(－x) D．y＝3x－1 解析　对于A，y＝0.3x－在(－1，1)上单调递减，不符合题意；对于B，y＝x3＋1在(－1，1)上单调递增，令y＝x3＋1＝0，解得x＝－1，不符合题意；对于C，y＝log(－x)在[0，1)上没有定义，不符合题意；对于D，y＝3x－1在(－1，1)上有零点x＝0，且在(－1，1)上单调递增，符合题意．故选D. 答案　D 2．函数f(x)＝－x的零点位于区间(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线．∵f(1)＝－＝>0，f(2)＝－＝－<0，∴f(1)f(2)<0，∴由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1，2).故选B. 答案　B 3．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析　因为a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点． 答案　B 4．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 解析　作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象， 如图所示