第二章 高考增分策略(2)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P16] 所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题． 　(2022·长安模拟)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．无法求 [解析]　若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1. 若m∈∁RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B. [答案]　B [点评]　本题是以狄利克雷函数为背景创设的函数题，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键：一是明确狄利克雷函数的实质是分段函数，理解集合∁RQ表示无理数集；二是分类讨论，需对m分“是有理数”“是无理数”两类讨论；三是注意从内向外逐层脱去“外衣”f，即可求出所求函数值． 　黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R(x)＝ 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg 30)＝________． [解析]　由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0， 所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)， 所以2是函数f(x)的周期，则f＝f＝f＝－f＝－R＝－，f(lg 30)＝f(lg 3＋lg 10)＝f(lg 3＋1)＝f(lg 3－1)＝－f(1－lg 3)＝－R(1－lg 3)＝0，所以f＋f(lg 30)＝－． [答案]　－ [点评]　本题以黎曼函数为背景，将函数的奇偶性和周期性、求函数值交汇，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键是判断函数f(x)的奇偶性与周期性，然后利用函数的奇偶性与周期性进行转化，把自变量的取值“转移”到区间[0，1]上，即可求出所求结果． [对应学生用书P264] [保分练] 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(－∞，3] B．(1，＋∞) C．(1，3] D．[3，＋∞) 解析　依题意log (x－1)＋1≥0，即log (x－1)≥－1， ∴解得1<x≤3. 答案　C 2．下列函数中，定义域与值域相同的是(　　) A．y＝ B．y＝ln x C．y＝ D．y＝ 解析　y＝＝1＋， 函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}，故选D. 答案　D 3．(2022·衡阳联考)若函数f(x)＝＋ln (b－x)的定义域为[2，4)，则a＋b＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　要使函数有意义，则解得∵函数f(x)＝＋ln (b－x)的定义域为[2，4)，∴∴∴a＋b＝1＋4＝5. 答案　B 4．已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．(－∞，－2)∪(－2，3] B．[－8，－2)∪(－2，1] C．∪(－2，0] D． 解析　由题意得解得－≤x≤0且x≠－2，因此，函数g(x)＝的定义域是∪(－2，0]，故选C. 答案　C 5．函数y＝＋1的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　函数y＝＋1，定义域为[1，＋∞)，且该函数为增函数，当x＝1时，该函数取得最小值1，故函数y＝＋1的值域为[1，＋∞). 答案　D 6．函数y＝的定义域为(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析　由题意得－3·2x－4≥0， 即22x－3·2x－4≥0. ∴(2x－4)(2x＋1)≥0，解得x≥2.故选A. 答案　A 7．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　) A．(－1，0) B．(－2，0) C．(0，1) D． 解析　由题意，知－1<x＋1<1，则f(x)的定义域为(－1，1).令－1<2x－1<1，得0<x<1.∴f(2x－1)的定义域为(0，1). 答案　C 8．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．(2，4) D．[2，4] 解析　函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2， 当0<m≤2时，函数在[0，m]上为减函数， 当x＝0时，取最大值－4， 当x＝m时，有最小