第二章 第一节　函数的概念及其表示-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第一节　函数的概念及其表示 [高考要求]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． [对应学生用书P11] 知识点一　函数的概念及表示 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． [微提醒]　函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象． 知识点二　分数函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． [微提醒]　分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 1．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}． (7)y＝tan x的定义域为. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠0)的值域是(0，＋∞). (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A＝N，B＝N，f：x→y＝|x－1|，表示从集合A到集合B的函数．(　　) (2)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)等于m3.(　　) (3)函数f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有2个.(　　) (4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．(　　) (5)f(x)＝ 则f(－x)＝(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(教材改编)下列函数中哪个与函数y＝x相等(　　) A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析　A：y＝()2＝x(x≥0)，这个函数与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不相等；B：y＝＝x(x∈R)，这个函数与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)相等；C：y＝＝|x|＝这个函数与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不相等；D：y＝的定义域是{x|x≠0}，与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不相等． 答案　B 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 答案　[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5] 4．(教材改编)已知f(x)＝＋，若f(－2)＝0，则a的值为________． 解析　因为f(x)＝＋，所以f(－2)＝＋＝0，解得a＝1. 答案　1 5．(易错)设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________． 解析　若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.故a＝±1. 答案　±1 学科网（北京）股份有限公司 $