第二章 第二节　函数的单调性和最值-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第二节　函数的单调性和最值 [高考要求]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． [对应学生用书P17] 知识点一　函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． [微提醒]　 (1)函数的单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是属于同一个区间，三者缺一不可． (2)求函数单调区间或讨论函数单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 知识点二　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 函数单调性的常用结论 1．若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． 2．若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)与y＝－f(x)，y＝在公共定义域内的单调性相反． 4．函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝在公共定义域内的单调性相同． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　) (2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (3)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) (5)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1，3]，则其单调递减区间为________；f(x)min＝________． 答案　　－15 3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是(　　) A．y＝1－x2 B．y＝x2＋x C．y＝－ D．y＝ 答案　D 4．(1)函数y＝的单调递减区间是________； (2)(易错)函数y＝ 的单调递减区间是________． 解析　(1)∵y＝＝－1＋，∴当1＋x>0或1＋x<0时，此函数均为减函数，故单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1). (2)由≥0，得x∈(－1，1]，此即为单调递减区间． 答案　(1)(－∞，－1)，(－1，＋∞)　(2)(－1，1] 5．(活用结论)函数y＝＋的最小值是________． 解析　由得x≥0. 又函数y＝＋在[0，＋∞)上是增函数，所以函数的最小值为＋＝2. 答案　2 [对应学生用书P18] 考点一　求函数的单调区间(师生共研) 　求下列函数的单调区间； (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y＝log(x2－3x＋2). [解析]　 (1)由于 y＝ 即y＝ 画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞). (2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数． 令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2. ∴函数y＝log(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞). 又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上， ∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增． 而y＝logu在(0，＋∞)上单调递减， ∴y＝log(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1). [方法策略] 求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法