第二章 第八节　函数与方程-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第八节　函数与方程 [高考要求]　1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． [对应学生用书P40] 知识点一　函数的零点与方程的解 1．函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 3．函数零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [微提醒]　零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． 知识点二　二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点三　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则函数f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)<0.(　　) (3)若f(x)在(a，b)上连续．且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是(　　) 解析　对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解． 答案　C 3．已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析　由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点． 答案　B 4．函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的区间是(　　) A． B．(1，e－1) C．(e－1，2) D．(2，e) 解析　(定理法)因为f＝ln －4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(e－1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间是(e－1，2). 答案　C 5．(活用结论)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________． 解析　法一　由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此f(x)的零点个数是1. 法二　画出y＝ex与y＝－3x的图象，只有一个交点． 答案　1 [对应学生用书P41] 考点一　函数零点所在区间的判定(自主练透) 1．函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0， 故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C. 答案　C 2．方程x2＝4－ln x的解所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　令f(x)＝x2－4＋ln x，x>0，易知f(x)单调递增，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2>0，故其唯一零点在(1，2)内．即方程x2＝4－ln x的解在(1，2)内．故选B. 答案　B 3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于