第八章 情境创新命题(5)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P159] 　攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．以如图所示的建筑物为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个四棱锥，若此正四棱锥的侧而积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为(　　) A． B． C． D． [解析]　设正四棱锥的底边为a，斜高为h，则底面积为a2，所以该正四棱锥的侧面积为3a2， 则2ah＝3a2，所以h＝a.① 设该正四棱锥的内切球的半径为r，作出示意图，如图所示，其中E，F分别为AB，CD的中点，H为底面的中心，PF与球O相切于点G. 易知△OGP与△FHP相似，所以有＝， 所以＝.② 联立①②，得r＝，所以＝， 则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为，故选B. [答案]　B [点评]　本题以“攒尖”为背景，考查正四棱锥内切球等知识，体现了智育的素养导向．破解关键：盯“题眼”和细“观图”，会利用所给的实物的特征及题目中的“题眼”，如本例，从题眼“正四棱锥的侧面积是底面积的3倍”，求出正四棱锥的底面边长和斜高的关系式，再利用三角形的相似关系，即可得该正四棱锥的内切球的半径与该正四棱锥的底面边长的关系． 　石雕工艺承载着几千年的中华传统文化，随着科技的发展，机器雕刻的产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材(如图1)雕刻制作一件工艺品(如图2)，该工艺品的上方是一个球体，下方是一个长方体．经测量，圆柱形石材的底面半径为3米，高为10米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分(分别称为圆柱A和圆柱B)，要求切面与原石材的上、下底面平行(不考虑损耗)，然后将圆柱A切割、打磨为一个球体，将圆柱B切割、打磨为一个长方体．则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为________立方米． [解析]　记圆柱形石材的底面半径和高分别为r米和h米，则r＝3，h＝10，因为圆柱A和圆柱B的体积一样大，所以它们的高一样，记为h′米，则h′＝5.要使工艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积需同时取得最大值． 设由圆柱A打磨成的球体半径为R米，则即所以R≤， 故当R＝时，球的体积取得最大值，此时球体体积V1＝πR3＝π×＝(米3). 设下方的长方体底面的长和宽分别为a米、b米， 要使长方体的体积最大，长方体的高需与圆柱B的高相等， 此时其体积V2＝abh′＝ab×5＝5ab(米3). 因为长方体为圆柱B的内接长方体，即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形，所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即a2＋b2＝(2r)2＝36， 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，即ab≤＝18，当且仅当a＝b＝3时取等号， 所以长方体体积的最大值为V2＝18×5＝90(米3)， 所以所得工艺品的体积的最大值为V＝V1＋V2＝(米3). [答案]　＋90 [点评]　本题以“石雕工艺”为背景，考查空间几何体的切接问题及空间几何体的体积问题，体现了智育的素养导向，破解此题的关键是将工艺品体积的最大问题等价转换为球与长方体的体积最大问题． [对应学生用书P326] [保分练] 1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　　) A．4 B．3 C．3 D．1 解析　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面． 答案　A 2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足：a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系(　　) A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面 解析　设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面．若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行． 答案　B 3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　) A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 解析　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD. 答案　C 4．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　如图，直线l，m，n不过同一点，且l，