第八章 高考增分策略(12)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P169] 题型一　将平面图形折叠成立体图形 　(2022· 德州模拟)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形．E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点．在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是________． [解析]　先把平面展开图还原为一个四棱锥．如图所示． ①∵E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点， ∴EF∥AD，GH∥BC. ∵AD∥BC，∴EF∥GH， ∴EF，GH确定平面EFGH，∴EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH.∴AD∥平面EFGH. 同理AB∥平面EFGH，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD，①正确；②连接AC，BD交于O点，则O为AC的中点，连接OG，G为PC的中点，∴OG∥PA，OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG， ∴PA∥平面BDG，②正确；③同②同理可证EF∥平面PBC，③正确；④同②同理可证FH∥平面BDG，④正确；⑤EF∥GH，GH与平面BDG相交，所以EF与平面BDG相交，⑤不正确． [答案]　①②③④ [方法策略] 画折叠图形一般以某个面为基础，依次将其余各面翻折还原，当然，画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识，这是解答此类问题的关键． 题型二　折叠中的“变”与“不变” 　如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6.D，E分别是AC，AB上的点．CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝. (1)证明：A′O⊥平面BCDE； (2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值． [解析]　(1)证明　在题图①中，易得OC＝3. AC＝3，AD＝2.连接OD，OE(图略). 在△OCD中，由余弦定理可得 OD＝＝. 由翻折不变性可知A′D＝2， 所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD. 同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O， 所以A′O⊥平面BCDE. (2) 如图，在题图②中，过O作OH⊥CD交CD的延长线于H，连接A′H.因为A′O⊥平面BCDE，所以A′H⊥CD，所以∠A′HO为二面角A′­CD­B的平面角． 结合题图①可知，H为AC的中点，故OH＝，从而A′H＝＝，所以cos ∠A′HO＝＝，所以二面角A′­CD­B的平面角的余弦值为. [方法策略] 折叠中的“变”与“不变” 一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的．涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的．分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱． 1．如图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对． 解析　 平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化．画出图形(如图)即可判断，相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH，共3对． 答案　3 2．如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且AM＝AD.将△AED，△DCF分别沿DE，DF折叠，使A，C点重合于点P，如图②所示． (1)试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明； (2)求二面角M­EF­D的余弦值． 解析　(1)PB∥平面MEF.证明如下：在图①中，连接BD，交EF于N，交AC于O，则BN＝BO＝BD. 在图②中，连接BD交EF于N，连接MN.在△DPB中．有BN＝BD，PM＝PD，∴MN∥PB. ∵PB⊄平面MEF，MN⊂平面MEF， 故PB∥平面MEF. (2)图②中的三角形PDE与三角形PDF分别是图①中的Rt△ADE与Rt△CDF，∴PD⊥PE，PD⊥PF. 又PE∩PF＝P，∴PD⊥平面PEF，则PD⊥EF. 又EF⊥BD，PD∩BD＝D，∴EF⊥平面PBD， 则∠MND为二面角M­EF­D的平面角． 可知PM⊥PN，则在Rt△MNP中，PM＝1，PN＝，则MN＝＝.在△MND中，MD＝3，DN＝3， 由余弦定理，得cos ∠MND＝＝. ∴二面角M­EF­D的余弦值为. [对应学生用书P340] [保分练] 1．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 解析　对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC