第八章 高考增分策略(10)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P153] 1．由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心． (1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点． (2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点． (3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点． (4)正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到． 　若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为________． [解析]　如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中点O为外接球的球心． 由题意得，在Rt△OAH中，AH＝，OH＝， 则外接球的半径R＝OA＝＝， 表面积S＝4πR2＝. [答案]　 2．构造长方体或正方体确定球心 (1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体． (2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体． (3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． (4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． 　若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是________． [解析]　三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为3，半径为，故所求外接球的体积V＝×＝. [答案]　 [点评]　一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径，即2R＝. 3．由球的性质确定球心 　正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为________． [解析]　 如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝，又OA＝OD＝r，所以(－r)2＋1＝r2，解得r＝，所以球O的表面积S＝4πr2＝. [答案]　 [点评]　本题运用公式R2＝r2＋d2(r为三棱锥底面外接圆的半径，R为三棱锥外接球的半径，d为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究． [对应学生用书P334] [保分练] 1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是(　　) A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4 解析　设正方形边长为1，则S侧＝2π××1＝π，S表＝S侧＋2S底＝π＋2π·＝π.所以S侧∶S表＝2∶3. 答案　B 2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为(　　) A．5 B． C．9 D．3 解析　∵圆锥的底面半径R＝4，高h＝3， ∴圆锥的母线l＝5， ∴圆锥的侧面积S＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，∴r＝.故选B. 答案　B 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 解析　连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又B1C1＝2，所以BB1＝＝2，故该长方体的体积V＝2×2×2＝8. 答案　C 4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　) A．4π B．2π C． D．π 解析　由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝＝，得α＝， 故底面面积为××22＝，则该几何体的体积为×3＝2π. 答案　B 5．(2022·全国甲卷·理)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D． 解析　如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆， 设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，则r1＝2，r2＝1，由勾股定理，得h1＝，h2＝2，所以＝＝＝＝.