第八章 第五节　直线、平面垂直的判定与性质-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第五节　直线、平面垂直的判定与性质 [高考要求]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． [对应学生用书P164] 知识点一　直线与平面垂直 1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点二　平面与平面垂直 1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点三　空间角 1．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)范围：. 2．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的平面角的范围：[0，π]． 1．a⊥α，b⊥α⇒a∥b， a∥b，a⊥α⇒b⊥α， l⊥α，l⊥β⇒α∥β， α∥β，l⊥α⇒l⊥β. 2．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 3．已知α∩β＝l，若α⊥γ，β⊥γ，则l⊥γ. 4．α⊥β，P∈α，P∈l，l⊥β⇒l⊂α. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一个平面的两个平面平行．(　　) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线 ，则α⊥β.(　　) (4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)下列命题错误的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可能是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的． 答案　D 3．(易错)设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A. 答案　A 4．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对． 解析　∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC， ∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD. 又AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B， ∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD， ∴平面ACD⊥平面ABC. 答案　3 5．(易错)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中， PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC， 即O为△ABC的外心． (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB， ∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC， ∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高． 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心． 答案　(1)外　(2)垂 [对应学生用书P166] 考点一　直线与平面