第八章 第四节　直线、平面平行的判定与性质-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第四节　直线、平面平行的判定与性质 [高考要求]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题． [对应学生用书P160] 知识点一　直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a， a⊂α， l⊄α， ∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α， l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b [微提醒]　应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可． 知识点二　平面与平面平行的判定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β， b∥β， a∩b＝P， a⊂α， b⊂α， ∴α∥β 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b [微提醒]　如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行． 符号表示： a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．同一条直线与两个平行平面所成角相等． 6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　) A．直线a上有无数个点不在平面α内 B．直线a与平面α内的所有直线平行 C．直线a与平面α内无数条直线不相交 D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交 解析　因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此直线a和平面α内的任意一条直线都不相交． 答案　D 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________． 解析　连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE. 答案　平行 4．(活用结论)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为________． 解析　由面面平行的性质定理可得AE∥C1F，AF∥C1E.故四边形AEC1F为平行四边形． 答案　平行四边形 5．(易错)考查下列两个命题，在“____________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a，b为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为________． ①⇒a∥α；②⇒a∥α. 解析　根据线面平行的判定定理可知，判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的条件，可知①缺少的条件是“a为平面α外的直线”，②同样缺少平面外直线． 答案　a⊄α [对应学生用书P162] 考点一　直线与平面平行的判定与性质(多维探究) 角度一　直线与平面平行的判定 　如图PA⊥矩形ABCD所在的平面，E，F分别为AB，PD的中点．求证：AF∥平面PCE. [证明]　法一　 如图，设M为PC的中点，连接EM，MF， ∵E是AB的中点， ∴AE∥CD，且AE＝CD， 又∵MF∥CD，且MF＝CD， ∴AE綊FM，∴四边形AEMF是平行四边形， ∴AF∥EM，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE， ∴AF∥平面PCE. 法二　 如图，设G为CD的中点，连接FG，AG， ∵F，G分别为PD，CD的中点， ∴FG∥PC.同理AG∥EC，又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE，PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE， ∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE，又FG，